Наиболее важные результаты научных исследований – 2025

2025  |  2024  |  2023  |  2022  |  2021  |  2020  |  2019  |  2018  |  2017  |  2016  |  2015  |  2014  |  2013  |  2012  |  2011  |  2010  |  2009  |  2008  |  2007  |  2006  |  2005  |  2004  |  2003  |  2002  |  2001  |  2000  |  1999  |  1998  |  1997  |  1996

Результаты, рекомендованные Ученым советом МИАН (на заседании от 20 ноября 2025 года, протокол № 6) к включению в список важнейших достижений российских ученых в области математики за 2025 год.

«Категорное поглощение особенностей и вырождения»

Кузнецов Александр Геннадьевич,
доктор физ.-матем. наук, член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник

Одна из самых широко используемых конструкций в алгебраической геометрии — конструкция разрешения особенностей Хиронаки — позволяет сводить многие вопросы об особых многообразиях к вопросам о гладких многообразиях. В цикле работ А. Г. Кузнецова предложена новая конструкция, называемая поглощением особенностей, преследующая ту же цель, но лучше согласованная с деформациями многообразий.
При обычном разрешении особенностей получается гладкое многообразие, которое «больше» старого с вложением всех имеющихся структур. При поглощении особенностей получается некоммутативное многообразие, которое «меньше» старого, и дополнение к которому содержит всю «особую» часть, тем самым как бы «поглощая» его особенности.
Один из таких примеров — поглощение обыкновенных двойных точек трехмерного многообразия — изучен в работе [1]. Оказалось, что при любом сглаживании такого многообразия, некоммутативное многообразие, которое является его гладкой частью, непрерывно деформируется в обычные коммутативные многообразия близких слоев.
В работе [2] поглощение обыкновенных двойных точек было использовано для построения гладкого семейства некоммутативных многообразий, связывающего трехмерные многообразия Фано индекса 1 и 2 и объясняющего ранее предсказанное инстантонное соответствие между этими многообразиями и совпадение их инвариантов.

[1] Kuznetsov, Alexander; Shinder, Evgeny, “Categorical absorptions of singularities and degenerations”, Épijournal de Géom. Algébrique [2023–2025], Special volume in honour of Claire Voisin, Art. 12, 42 pp.
[2] Kuznetsov, Alexander; Shinder, Evgeny, “Derived categories of Fano threefolds and degenerations”, Invent. Math., 239 (2025), no. 2, 377–430

Результаты, рекомендованные Ученым советом МИАН (на заседании от 20 ноября 2025 года, протокол № 6) к включению в список важнейших достижений российских ученых в области математики (популяризация науки) за 2025 год.

«Электронный архив журнала «Квант»

Андреев Николай Николаевич,
кандидат физ.-матем. наук, заведующий лабораторией, старший научный сотрудник
Бусев Василий Михайлович,
ведущий специалист
Кокшаров Роман Александрович,
ведущий программист

Журнал «Квант», выходящий с 1970 года, является культовым научно-популярным физико-математическим журналом. В советское время издавался под эгидой Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР, ежемесячные тиражи доходили до 380 тысяч экземпляров. В настоящее время в состав учредителей журнала входят и РАН, и МИАН.
Разработанная система является эталоном качества электронных библиотек. Для пользователя сайт представляет изображения высокого качества и разнообразные быстро работающие поиски. В целом платформа представляет собой интегрированную информационную среду, объединяющую функции архива, библиотеки и редакционно-публикационной системы, обеспечивающую надёжное хранение материалов, высокую степень автоматизации обработки, систематизацию и доступ к материалам.

[1] АРХИВ ЖУРНАЛА «КВАНТ» // [Электронный ресурс], Режим доступа: URL: https://www.kvant.digital/ (дата обращения 10.11.2025)

Результаты, признанные Ученым советом МИАН (на заседании от 20 ноября 2025 года, протокол № 6) лучшими работами по МИАН в 2025 году.

«$G$-корегулярность поверхностей дель Пеццо»

Логинов Константин Валерьевич,
кандидат матем. наук, научный сотрудник
Пржиялковский Виктор Владимирович,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник
Трепалин Андрей Сергеевич,
кандидат физ.-матем. наук, научный сотрудник

Понятие корегулярности многообразий Фано было введено В. В. Шокуровым. Корегулярность численно выражает то, насколько сложно устроены (кратные) антиканонические дивизоры. Исследованию свойств корегулярности многообразий Фано и ее вычислению в различных специальных случаях посвящены многие современные работы.
В данной статье понятие корегулярности переносится на случай многообразий Фано с действиями конечных групп. Возникающее понятие $G$-корегулярности отражает геометрическую сложность действия.
Для $G$-корегулярности обнаружены многие интересные свойства, исследованы ее связи с другими характеристиками действий групп, включая $G$-эквивариантные логканонические пороги. Кроме того, $G$-корегулярность вычислена для всех действий конечных групп на поверхностях дель Пеццо степени не меньше 6. Это позволило получить ряд приложений, включая классификацию конечных групп, действующих на поверхностях дель Пеццо степени 8, для которых $G$-эквивариантный лог-канонический порог больше 1. Для групп, действующих на проективной плоскости, установлены связи между $G$-корегулярностью, $G$-эквивариантным лог-каноническим порогом, $G$-жесткостью и исключительностью соответствующей трехмерной фактор-особенности.

[1] К. В. Логинов, В. В. Пржиялковский, А. С. Трепалин, “$G$-корегулярность поверхностей дель Пеццо”, Труды МИАН, 329 (2025), 132–164.

«Версия итерированной теории малых сокращений для групп бернсайдовского типа»

Лысенок Игорь Геронтьевич,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

Так называемая теория малых сокращений берет свое начало в работах Тартаковского 40-х гг. прошлого века и была переработана в современный вид несколькими авторами, начиная с 60-х гг. В этой теории исследуются группы, заданные системой определяющих соотношений, в которых любая пара соотношений имеет малое общее наложение по сравнению с их длиной. При выполнении этого условия удается получить существенную информацию о группе, в частности, получить некоторое общее описание всех соотношений в группе.
Принципиальный шаг в понимании структуры свободных бернсайдовых групп достаточно большого нечетного периода был сделан в фундаментальной работе П.С. Новикова и С.И. Адяна в 1968 г. и ее усовершенствованной версии, изложенной в монографии С.И. Адяна 1975 г. Одной из важнейших составляющих созданной ими теории является неявная и тесно вплетенная в доказательство итерированная версия теории малых сокращений.
Особенностью такой версии является построение бесконечной последовательности групп, в которой каждая последующая группа удовлетворяет некоторому специальному условию малого сокращения относительно предыдущей группы. В более поздних работах разных авторов предпринимались попытки найти более концептуальный и технически более простой подход к изучению бернсайдовых групп достаточно большого периода, и более общно, к изучению более широких классов групп ограниченного периода. Во всех этих работах использовался подход, явно или неявно основанный на некоторой версии итерированной теории малых сокращений. Вариантам итерированной теории малых сокращений для групп ограниченного периода, сформулированной в явном виде, были посвящены работы Громова‒Дельзанта (2008) и Кулона (2014).
В статье Лысенка также был разработан явно сформулированный вариант итерированной теории малых сокращений, пригодный для изучения соответствующего класса групп, включающего свободные бернсайдовы группы достаточно большого нечетного периода. По сравнению с предыдущими работами этот вариант имеет два преимущества. Во-первых, этот вариант теории применим к бернсайдовым группам с умеренной нижней оценкой 2000 нечетного периода. В работах Громова‒Дельзанта и Кулона нижняя оценка на период не указана, ее нахождение требует серьезной технической работы и будет являться очень большим числом. Во-вторых, в работе Лысенка итерированное условие малого сокращения сформулировано в достаточно простых комбинаторных терминах, не использующих дополнительных геометрических построений, и является некоторым естественным комбинаторным аналогом классического условия малого сокращения для групп.

[1] I. G. Lysenok, “A sample iterated small cancellation theory for groups of Burnside type”, Известия РАН. Серия математическая, 89:4 (2025), 111–218.

«Последовательности частных сумм многомерных рядов Фурье»

Конягин Сергей Владимирович,
доктор физ.-матем. наук, академик РАН, главный научный сотрудник

Пусть $\mathbb T = \mathbb R/2\pi\mathbb Z$, $d\ge2$, и пусть $\mu_d$ – нормализованная мера Лебега на $\mathbb T^d$. Каждой интегрируемой комплекснозначной функции $f: \mathbb T^d \to \mathbb C$ мы сопоставляем ее тригонометрический ряд Фурье
$$ f \sim \sum_{\mathbf k\in\mathbb Z^d} \hat f(\mathbf k) \exp(i\mathbf k\mathbf x),$$
где $\mathbf k = (k_1,\dots,k_d)\in \mathbb Z^d$, $\mathbf x = (x_1,\dots,x_d)\in \mathbb T^d$, $\mathbf k \mathbf x = k_1x_1 + \dots + k_dx_d$.
Для ограниченного множества $A\subset\mathbb R^d$ мы определяем частные тригонометрические суммы Фурье относительно множества $A$
$$ S_A(f) (x) = \sum_{\mathbf k\in\mathbb Z^d\cap A} \hat f(\mathbf k) \exp(i\mathbf k\mathbf x).$$

Для различных классов последовательностей множеств $\{A_j\}$, $j =1,2,\dots$ мы рассматриваем вопрос: возможно ли, что на множестве $E\subset \mathbb T^d$ последовательность $\{S_{A_j}(f)\}$ почти всюду сходится к функции $g$, отличной от функции $f$? Мы изучаем два варианта этой проблемы:
1) функция $g$ конечна;
2) функция $g$ равна бесконечности.

[1] С. В. Конягин, “О сходимости подпоследовательности частных сумм тригонометрического ряда Фурье по Прингсхейму”, Труды ИММ УрО РАН, 28:4, 2022, 121–127.
[2] С. В. Конягин, “О сходимости подпоследовательности частичных сумм многомерного тригонометрического ряда Фурье по Прингсхейму”, Труды МИАН, 323 (2023), 167–180.
[3] С. В. Конягин, “Последовательности частных сумм кратных тригонометрических рядов Фурье”, Математический сборник, 216:3 (2025), 108–127.

«О периоде разложения $\sqrt{D}$ в цепную дробь»

Королёв Максим Александрович,
доктор физ.-матем. наук, член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник

Как известно, любая квадратичная иррациональность разлагается в периодическую цепную дробь. Открытой проблемой является поведение длины периода разложения числа $\sqrt D$ при изменении $D$ во множестве бесквадратных чисел. Верхняя оценка такого периода имеет порядок $\sqrt D \ln D$, но до сих пор неизвестно, является ли она точной.
Между тем, имеется ряд результатов, которые показывают, что чисел $D$, для которых такая длина достаточно велика, не очень много. Одно из последних продвижений в этом направлении было получено в 2024 г. Ф. Баттистони, Л. Гренье, Дж. Мольтени.
Результат трёх авторов был усилен за счёт того, что вместо верхней оценки одной арифметической суммы, найденной указанными авторами, удалось получить асимптотику такой суммы.

[1] М. А. Королёв, “О периоде разложения $\sqrt{D}$ в цепную дробь”, Известия РАН. Серия математическая, 89:1 (2025), 30–53.

«Обращение преобразования Абеля–Прима при наличии дополнительной инволюции»

Шейнман Олег Карлович,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

Вообще говоря, отображение Абеля‒Прима нельзя обратить с помощью стандартной техники, основанной на теореме Римана о нулях, в том смысле что применив это отображение к дивизору степени $h$, равной размерности примиана, а к его образу ‒ аналог теоремы Римана для примиана, мы получим дивизор степени $2h$. Показано, что если кривая допускает вторую инволюцию, коммутирующую с той, которая определяет многообразие Прима, и удовлетворяющую некоторым дополнительным условиям, то теорема Римана даёт дивизор нужной степени на фактор-кривой по этой второй инволюции. Как следствие, примиан бирационально эквивалентен симметрической степени этой фактор-кривой. С помощью этой техники проинтегрированы системы Хитчина со структурной группой $\mathrm{SO}(4)$ на кривых рода $2$, что является первым примером интегрирования систем Хитчина с простой структурной группой.

[1] О. К. Шейнман, “Разделение переменных для систем Хитчина со структурной группой $\mathrm {SO}(4)$ на кривых рода $2$”, Труды МИАН, 325 (2024), 309–321.
[2] О. К. Шейнман, “Обращение преобразования Абеля–Прима при наличии дополнительной инволюции”, Математический сборник, 216:12 (2025) (в печати).

«Об оценках снизу колмогоровских поперечников и связанных с ними величин»

Малыхин Юрий Вячеславович,
доктор физ.-матем. наук, старший научный сотрудник

В работе [1] дан полный ответ на вопрос о порядке при $n$ стремящемся к бесконечности $n$-поперечников в метрике $L^q$, $q>2$, класса $W^1_1$. Тем самым завершено решение задачи о порядках поперечников классов Соболева с целым показателем гладкости. Исследование этой задачи было начато еще в 1936 г. А. Н. Колмогоровым.
В работе [2] установлены новые свойства подпространств размерности порядка $\log{n}$, обеспечивающих нетривиальное приближение в равномерной метрике $n$-мерного октаэдра (существование таких подпространств известно давно). Полученные результаты представляют интерес не только для теории приближения, но и для дискретной математики.

[1] Ю. В. Малыхин, “Колмогоровские поперечники класса $W_1^1$”, Математические заметки, 117:6 (2025), 922–927.
[2] Ю. В. Малыхин, “О структуре матриц малого ранга, приближающих единичную матрицу”, Математические заметки, 117:5 (2025), 795–798.

«О носителе меры в интегральных представлениях функций Неванлинны и Каратеодори, задаваемых предельно периодическими непрерывными дробями»

Буслаев Виктор Иванович,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

Цикл работ посвящен сходимости аналогов непрерывной дроби Шура, ассоциированных либо с функциями Неванлинны, либо с функциями Каратеодори. В первом случае, показано, что если узлы и параметры аналога дроби Шура имеют периодические пределы, то непрерывная дробь сходится локально равномерно в сферической метрике к мероморфной функции $f$ во всех точках расширенной комплексной плоскости, не лежащих на явно указанном множестве $\Gamma$, которое состоит из конечного числа отрезков действительной прямой. Функция $f$ в верхней полуплоскости является функцией Неванлинны и носитель меры в ее интегральном представлении ‒ это множество $\Gamma$, объединенное с множеством полюсов функции $f$. Во втором случае функция $f$ в единичном круге является функцией Каратеодори и носитель меры в ее интегральном представлении ‒ это состоящее из конечного числа дуг единичной окружности множество $\Gamma$, объединенное с множеством полюсов функции $f$.

[1] В. И. Буслаев, “О носителе меры в интегральном представлении функции Неванлинны, задаваемой предельно периодической непрерывной дробью”, Математический сборник, 216:11 (2025), 41–61.
[2] В. И. Буслаев, “О многоточечных параметрах Геронимуса и Шура мер на окружности и на прямой”, Математический сборник, 215:8 (2024), 3–40.
[3] В. И. Буслаев, “О разрешимости интерполяционной проблемы Неванлинны–Пика”, Математический сборник, 214:8 (2023), 18–52.

«Явные формулы для экстремалей в сублоренцевых и финслеровых задачах на 2х и 3х-мерных группах Ли»

Локуциевский Лев Вячеславович,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

В рамках исследований по сублоренцевой геометрии, являющейся обобщением математического аппарата общей теории относительности, был разработан новый математический аппарат ‒ выпуклая гиперболическая тригонометрия. В Лоренцевой геометрии длина времениподобной кривой интерпретируется как собственное время путешественника, а геодезические (длиннейшие кривые) соответствуют траекториям свободного движения. Классические методы отыскания геодезических оказываются неприменимы для широкого класса сублоренцевых пространств с произвольной вогнутой антинормой. Для решения этой проблемы авторами были введены новые специальные функции, обобщающие классические гиперболические функции на случай произвольной двумерной антинормы. Этот подход вкупе с принципом максимума Понтрягина, позволил впервые в явном виде найти формулы для геодезических в сублоренцевых задачах на всех трехмерных унимодулярных группах Ли ($\mathrm{SU}(2)$, $\mathrm{SL}(2)$, $\mathrm{SE}(2)$ и др.), а также на плоскости Лобачевского. Помимо этого, в работе с помощью известного аппарата выпуклой тригонометрии найдены явные формулы для геодезических в финслеровой задаче на группе Гейзенберга для норм, допускающих введение обобщенных сферических координат. Таким образом, работа дает полное описание экстремалей для широкого класса задач оптимального управления на группах Ли малой размерности.

[1] Е. А. Ладейщиков, Л. В. Локуциевский, Н. В. Прилепин, “Явные формулы для экстремалей в сублоренцевых и финслеровых задачах на 2х и 3х-мерных группах Ли”, Математический сборник, 216:12 (2025) (в печати).

«Физические подходы в машинном обучении»

Козырев Сергей Владимирович,
доктор физ.-матем. наук, профессор РАН, ведущий научный сотрудник
Лопатин Илья Александрович,
стажер-исследователь
Печень Александр Николаевич,
доктор физ.-матем. наук, профессор РАН, ведущий научный сотрудник

Приведено [2] объяснение гроккинга (отложенного обобщения) для перепараметризованных моделей теории обучения как проявление второго закона термодинамики, объяснены свойства гроккинга как модели статистической физики (размер времени задержки при переходе к обобщению и зависимость этого времени от размера обучающей выборки). Также гроккинг с точки зрения физики упоминался в [3].
В [1], [3] введена модель хищник‒жертва ‒ метод теории обучения с двумя взаимодействующими агентами.
В [4] метод хищник-жертва применен к задачам гроккинга, достигнуто ускорение перехода к обобщению в сто раз для модельных примеров. Рассмотрены различные примеры гроккинга, исследованы его характеристики.

[1] S. V. Kozyrev, I. A. Lopatin, A. N. Pechen, “Control of Overfitting with Physics”, Entropy, 26 (2024), 1090.
[2] S. V. Kozyrev, How to explain grokking, arXiv: 2412.18624
[3] S. V. Kozyrev, I. A. Lopatin, A. N. Pechen, “Generalization in learning: Eyring formula and predator-prey model”, Lobachevskii Journal of Mathematics, 46:6 (2025), 2591–2600
[4] I. A. Lopatin, S. V. Kozyrev, A. N. Pechen, Predator–Prey Model: Driven Hunt for Accelerated Grokking, arXiv: 2509.10562
[5] S. V. Kozyrev, “Action in Physics, Biology and AI”, p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, 17:4 (2025), 379–384 (в печати).

«Решения ассоциативного уравнения Янга‒Бакстера, связанные с супер-алгебрами Ли»

Матушко Мария Георгиевна,
кандидат матем. наук, научный сотрудник

Ассоциативное уравнение Янга‒Бакстера позволяет строить интегрируемые структуры, а также тесно связано с квантовым и классическим уравнениями Янга‒Бакстера. В работах построены тригонометрические решения ассоциативного уравнения Янга‒Бакстера с параметрами, связанные с супер-алгебрами Ли $\mathrm{gl}(N|M)$ и «странной» супер-алгеброй Ли $q_N$, определяемой как неподвижная точка некоторого автоморфизма в $\mathrm{gl}(N|N)$.
Также построенные решения удовлетворяют и квантовому уравнению Янга-Бакстера. Эти результаты расширяют классификацию решений ассоциативного уравнения Янга-Бакстера на случай супер-алгебр Ли.

[1] M. Matushko, “A solution of the associative Yang-Baxter equation related to the queer Lie superalgebra”, Journal of Geometry and Physics, 218 (2025), 11 pp. (published online)
[2] M. Matushko, A. Zotov, “Supersymmetric generalization of $q$-deformed long-range spin chains of Haldane–Shastry type and trigonometric $\mathrm{GL}(N|M)$ solution of associative Yang–Baxter equation”, Nuclear Physics B, 1001 (2024), 116499, 14 pp.

«Многомерные гамильтоновы системы: неинтегрируемость и диффузия»

Козлов Валерий Васильевич,
доктор физ.-матем. наук, академик РАН, главный научный сотрудник

Рассматриваются гамильтоновы системы дифференциальных уравнений, мало отличающиеся от вполне интегрируемых. Если такая система интегрируемая, то переменные действие не могут сильно изменяться и поэтому никакой диффузии нет. Таким образом, неинтегрируемое поведение гамильтоновой системы и наличие диффузии медленных переменных тесно связаны друг с другом. Этот круг вопросов обсуждается для одного класса гамильтоновых систем, на примере которых рассматривается новый механизм диффузии, отличный от “стандартного” механизма переходных цепочек. Он связан с разрушением большого числа инвариантных торов невозмущённой задачи с почти резонансным набором частот. Формальная сторона этого явления опирается на условия неограниченности интегралов условно периодических функций времени с нулевым средним значением.

[1] В. В. Козлов, “Многомерные гамильтоновы системы: неинтегрируемость и диффузия”, Успехи математических наук, 80:5 (2025), 3–22.

«Закон Марченко‒Пастура для матриц Грама: неоднородный случай»

Яськов Павел Андреевич,
кандидат физ.-матем. наук, старший научный сотрудник

Матрицы Грама большой размерности повсеместно возникают в современной статистике и машинном обучении, в особенности в алгоритмах, связанных с различными формами метода наименьших квадратов. Точные предельные формулы для различных спектральных характеристик этих матриц используются в анализе соответствующих алгоритмов. В работе дано исчерпывающее описание условий, при которых предельное спектральное распределение матриц Грама $\mathbf{XX}^*$ растущей размерности, отвечающих случайным комплексным матрицам $\mathbf{X}$ с независимыми столбцами/строками, будет описываться законом Марченко‒Пастура (при должной нормировке). В частности, впервые найдены точные условия, при которых предельные распределения для матриц $\mathbf{X}$ с независимыми центрированными элементами (дисперсии которых могут быть различны) описываются тем же предельным законом, что и для матриц $\mathbf{X}$ с независимыми стандартными гауссовскими элементами. Результаты получены новым методом, основанном на приближенных матричных уравнениях с оценкой остатков в специальной полунорме.

[1] П. А. Яськов, “О спектре случайных матриц Грама большой размерности в условиях частичной зависимости”, Успехи математических наук, 80:5 (2025), 105–174.

«Ветвящийся процесс в случайной среде, начинающийся с большого числа частиц»

Афанасьев Валерий Иванович,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

Пусть начальное число частиц $m$ критического ветвящегося процесса в случайной среде зависит от параметра $n$. Предположим, что дисперсия одного шага сопровождающего случайного блуждания конечна и положительна. Доказана предельная теорема о моменте вырождения рассматриваемого процесса в предположении, что логарифм $m$ имеет порядок $\sqrt n$ при $n\to\infty$ При этом же предположении доказана предельная теорема для случайного процесса с непрерывным временем, описывающего численности различных поколений рассматриваемого ветвящегося процесса.

[1] В. И. Афанасьев, “Ветвящийся процесс в случайной среде, начинающийся с большого числа частиц”, Теория вероятностей и её примененения, 70:1 (2025), 3–28.

«Полиномиально ограниченный операторный рост в динамически интегрируемых моделях»

Ермаков Игорь Владимирович,
PhD, научный сотрудник
Лычковский Олег Валентинович,
кандидат физ.-матем. наук, старший научный сотрудник

Описан широкий класс многочастичных квантовых систем и квантовых схем, включая системы и схемы с диссипацией, в которых сложность эволюции некоторых локальных наблюдаемых не экспоненциальна, а полиномиальна по количеству частиц/кубитов. Изучены закономерности увеличения сложности в зависимости от расстояния между границей системы и носителем наблюдаемой, от количества двухкубитных вентилей в квантовой схеме, от количества петель в решетке, на которой определена многочастичная система с взаимодействием между ближайшими соседями и т.п. Результаты исследования могут быть применены для валидации (бенчмаркинга) больших квантовых процессоров, включая валидацию некоторых математических моделей ошибок в таких процессорах.

[1] Igor Ermakov, Tim Byrnes, and Oleg Lychkovskiy, “Polynomially restricted operator growth in dynamically integrable models”, Physical Review B, 111 (2025), 094314.