Наиболее важные результаты научных исследований – 2024

2025  |  2024  |  2023  |  2022  |  2021  |  2020  |  2019  |  2018  |  2017  |  2016  |  2015  |  2014  |  2013  |  2012  |  2011  |  2010  |  2009  |  2008  |  2007  |  2006  |  2005  |  2004  |  2003  |  2002  |  2001  |  2000  |  1999  |  1998  |  1997  |  1996

Результаты, рекомендованные Ученым советом МИАН (на заседании от 21 ноября 2024 года, протокол № 4) к включению в список важнейших достижений российских ученых в области математики за 2024 год.

Монография «Броуновское движение и винеровская мера»

Ширяев Альберт Николаевич,
доктор физ.-матем. наук, академик РАН, главный научный сотрудник

Настоящее издание в двух томах представляет собой первое полное систематическое изложение на русском языке теории броуновского движения и винеровской меры.
Броуновское движение является одним из основных случайных процессов. Его математическое исследование привело к значительным результатам в теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений, математической физике.
Броуновское движение возникает в теории как результат функциональной центральной предельной теоремы, а в приложениях является одним из основных примеров динамических систем, стохастически развивающихся во времени. Тесно связанная с броуновским движением винеровская мера явилась первым примером вероятностной меры на функциональных пространствах.
Два тома монографии включают 39 глав и составляют 1167 страниц. В книге охватывается исключительно широкий материал по броуновскому движению и винеровской мере, как классический, так и современный. Подробно разбираются физические предпосылки броуновского движения. Приведен детальный обзор аналитических методов и средств, необходимых для изложения основного материала. К их числу относятся элементы векторного анализа, вариационного исчисления, дифференциальных уравнений, теории мартингалов.
Монография является первоклассным современным изданием, значительным событием в мировой научной литературе. Научные исследователи и учащиеся найдут в ней богатый материал по броуновскому движению, она, несомненно, станет настольной книгой для многих специалистов по теории вероятностей.

[1] Ширяев А. Н., Броуновское движение и винеровская мера, Т. 1, МЦНМО, М., 2023
[2] Ширяев А. Н., Броуновское движение и винеровская мера, Т. 2, МЦНМО, М., 2025

«Триангуляции многообразий, похожих на проективные плоскости»

Гайфуллин Александр Александрович,
доктор физ.-матем. наук, член-корр. РАН, главный научный сотрудник

Триангуляции – самый естественный и эффективный способ представления топологических объектов в комбинаторных терминах, необходимый для их компьютерной обработки. В целях уменьшения сложности компьютерных вычислений критически важно работать с триангуляциями, минимальными по количеству вершин. Например, поверхность тетраэдра – это минимальная триангуляция двумерной сферы.
В 1987 г. У. Брем и В. Кюнель доказали, что единственным $d$-мерным многообразием, которое допускает триангуляцию меньше, чем с $3d/2+3$ вершинами, является $d$-мерная сфера. Более того, если $d$-мерное многообразие $M^d$ , отличное от сферы, допускает триангуляцию ровно с $3d/2+3$ вершинами, то $d$ – одно из четырех чисел $2, 4, 8$ и $16$, а $M^d$ является так называемым многообразием, похожим на проективную плоскость. Это важный класс многообразий, введенный в 1950-х гг. в работах Дж. Милнора, Н. Шимады, Дж. Илса и Н. Койпера. Таким образом, возникла фундаментальная проблема построения триангуляций с $3d/2+3$ вершинами $d$-мерных многообразий, похожих на проективные плоскости.
До недавнего времени было известно крайне мало таких триангуляций: по одной в размерностях $2$ и $4$ и шесть в размерности $8$. При этом не было известно ни одного примера в размерности $16$; данная проблема оставалась открытой с конца 1980-х гг. А. А. Гайфуллин решил эту проблему, построив больше $10^{103}$ таких триангуляций. Четыре из них, наиболее симметричные, были найдены при помощи специально разработанного компьютерного алгоритма, а остальные триангуляции были получены из этих четырех при помощи специальных перестроек, называемых тройными флипами. В $8$-мерном случае А. А. Гайфуллиным было построено более $670 000$ новых минимальных триангуляций кватернионной проективной плоскости, а также получена классификация всех таких триангуляций с группами симметрий порядков больше $3$.

[1] A. A. Gaifullin, “634 vertex-transitive and more than $10^{103}$ non-vertex-transitive 27-vertex triangulations of manifolds like the octonionic projective plane”, Изв. РАН. Сер. матем., 88:3 (2024), 12–60
[2] А. А. Гайфуллин, “О возможных группах симметрий 27-вершинных триангуляций многообразий, похожих на октавную проективную плоскость”, Матем. сб., 215:7 (2024), 3–51
[3] А. А. Гайфуллин, “Новые примеры и частичная классификация 15-вершинных триангуляций кватернионной проективной плоскости”, Топология, геометрия, комбинаторика и математическая физика, Сборник статей. К 80-летию члена-корреспондента РАН Виктора Матвеевича Бухштабера, Труды МИАН, 326, МИАН, М., 2024, в печати.

Результаты, признанные Ученым советом МИАН (на заседании от 21 ноября 2024 года, протокол № 4) лучшими работами по МИАН в 2024 году.

«Локальный подход к теореме Делиня‒Римана‒Роха»

Осипов Денис Васильевич,
доктор физ.-матем. наук, профессор РАН, ведущий научный сотрудник

В цикле статьей, кульминацией которого является [1], разработан подход к теореме Делиня‒Римана‒Роха при помощи локальных методов и доказан локальный аналог данной теоремы. Теорема Делиня‒Римана‒Роха устанавливает изоморфизм между некоторыми естественным образом определенными линейными расслоениями на многообразии модулей пар, состоящих из гладкой проективной кривой и линейного расслоения на ней.
Автор исследует это многообразие модулей, вводя дополнительные данные к рассматриваемым объектам: точка на кривой, локальный параметр в ней и тривиализация линейного расслоения в формальной окрестности точки. Существенное преимущество такого подхода заключается в том, что на возникающем многообразии модулей определено (почти) свободное и транзитивное действие группы, порожденной автоморфизмами формального проколотого диска и обратимыми функциями на нем. В результате теорема Делиня‒Римана‒Роха становится утверждением об изоморфизме между мультипликативными центральными расширениями данной группы, которое и является основным результатом, полученным в работах автора.
Важно отметить, что принадлежащее автору доказательство никак не использует теорему Делиня‒Римана‒Роха, а напротив, основано на локальных рассмотрениях и использует разнообразную технику работы с кольцами рядов Лорана, а также явные вычисления в когомологиях алгебр Ли. В процессе найденного доказательства становится явна видна причина, откуда в формуле из теоремы Делиня‒Римана‒Роха берутся загадочные коэффициенты 6 и 12.

[1] D. V. Osipov, “Local analog of the Deligne–Riemann–Roch isomorphism for line bundles in relative dimension $1$”, Известия РАН. Серия математическая, 88:5 (2024), 127–173
[2] Д. В. Осипов, “Формальный коцикл Ботта–Тёрстона и часть формальной теоремы Римана–Роха”, Алгебра, арифметическая, алгебраическая и комплексная геометрия, Сборник статей. Посвящается памяти академика Алексея Николаевича Паршина, Труды МИАН, 320, МИАН, М., 2023, 243–277
[3] Д. В. Осипов, “Детерминантное центральное расширение и $\cup$-произведения $1$-коциклов”, Успехи математических наук, 78:4(472) (2023), 207–208

«К-стабильность и корегулярность многообразий Фано»

Логинов Константин Валерьевич,
кандидат матем. наук, научный сотрудник

В представленных работах, посвященных многообразиям Фано и их обобщениям, изучаются такие инварианты многообразий Фано, привлекшие внимание исследователей в последние годы, как К-стабильность и корегулярность.
Понятие регулярности было введено В. В. Шокуровым. Оно измеряет комбинаторную сложность двойственного комплекса дивизора на алгебраическом многообразии. Если максимизировать эту величину по всем нормированным плюриантиканоническим дивизорам границы, мы придем к понятию (ко-)регулярности многообразия Фано, предложенному Х. Морагой. В своих работах Морага и соавторы изучили это понятие и показали, что оно обладает различными интересными свойствами.
Однако вычисления этого инварианта для конкретных семейств многообразий Фано были известны лишь в простейших случаях. В работе [1] (ко-)регулярность была посчитана для “почти всех” трехмерных гладких многообразий Фано. В этой работе нашли применение различные аспекты теории особенностей, как классической (особенности функций, рассматриваемые Арнольдом), так и более современной (техника особенностей пар).
Другим интересным инвариантом многообразий Фано и их обобщений является К-стабильность. Понятие К-стабильности, тесно связанное с существованием метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано, играет важную роль в современной бирациональной геометрии. Одним из главных приложений этой теории является возможность построения «хороших» пространств модулей для многообразий Фано. Вопрос нахождения всех К-стабильных элементов в каждом семействе многообразий Фано представляет большой интерес, и эта проблема не решена до конца даже в размерности 3. В работе [2] эта задача была решена для всех трехмерных многообразий Фано степени 24 с числом Пикара 4. В работе [3] задача о К-стабильности решается для лог Фано пар типа Маеды в размерности три. Результат об ограниченности для К-стабильных лог Фано пар типа Маеды был обобщен на произвольную размерность в работе [4].

[1] Artem Avilov, Konstantin Loginov, and Victor Przyjalkowski, “Coregularity of smooth Fano threefolds”, Communications in Number Theory and Physics, 18:3 (2024), 509–577
[2] Grigory Belousov and Konstantin Loginov, “K-stability of Fano threefolds of rank 4 and degree 24”, European Journal of Mathematics, 9:3 : Paper No. 80, 20, 2023
[3] Konstantin Loginov, “K-polystability of 3-dimensional log Fano pairs of Maeda type”, International Journal of Mathematics, 34:1 : Paper No. 2250095, 40, 2023
[4] Konstantin Loginov and Chuyu Zhou, “Boundedness of log Fano pairs with certain K-stability”, International Mathematics Research Notices, 2024:20, 13281–13294

«Элементарные теории классов вероятностных пространств»

Сперанский Станислав Олегович,
кандидат физ.-матем. наук, старший научный сотрудник

В доказательствах многих сложностных результатов, связанных с кванторными вероятностными логическими системами, существенно используется операция умножения вероятностей. Возникает естественный вопрос о том, что происходит при отсутствии операции умножения. В качестве основного примера можно рассмотреть следующий результат: если класс вероятностных пространств содержит все дискретные пространства, то его односортная элементарная теория (в языке с кванторами по событиям) имеет как минимум ту же сложность, что и полная арифметика второго порядка. В [1] получено усиление этого результата: вышеупомянутая оценка сложности остаётся верной, если вместо равенств и неравенств между полиномами от вероятностей мы будем использовать лишь равенства между вероятностями с постоянными натуральными коэффициентами. Также получены аналогичные результаты для обогащений известных вероятностных логик Хальперна–Фейгина–Мегиддо (без кванторов либо с кванторами по вещественным числам) посредством добавления кванторов по пропозициональным формулам.
В работе [2] построен перевод из двухсортного элементарного языка вероятностных пространств (с кванторами по событиям и кванторами по вещественным числам) в язык арифметики второго порядка, где каждое пространство определённым образом сводится к своей атомарной части. С помощью этого перевода доказано, что теория практически любого разумного ‒ в некотором смысле «аналитического» ‒ класса пространств не сложнее, чем полная арифметика второго порядка; при этом теория безатомных пространств оказывается полной и алгоритмически разрешимой.

[1] Stanislav O. Speranski, “Sharpening complexity results in quantified probability logic”, Logic Journal of the IGPL, 2024, jzae114, 1–21
[2] Stanislav O. Speranski, “An ‘elementary’ perspective on reasoning about probability spaces”, Logic Journal of the IGPL, 2024, jzae042, 1–23

«Формула суммирования Вороного для L-рядов Загье»

Балканова Ольга Германовна,
PhD, научный сотрудник
Фроленков Дмитрий Андреевич,
кандидат физ.-матем. наук, старший научный сотрудник

Формулы суммирования Вороного, наряду с формулой суммирования Пуассона, являются одним из основных инструментов аналитической теории чисел. С их помощью становится возможным изучать средние значения коэффициентов Фурье автоморфных форм, возникающие при решении различных теоретико-числовых задач, часто выходящих за рамки теории автоморфных форм. Изначально Вороной доказал формулу суммирования для функции числа делителей и с её помощью улучшил остаток в известной проблеме делителей Дирихле. В данном случае связь с автоморфными формами обусловлена тем, что функция числа делителей является коэффициентом Фурье классических рядов Эйзенштейна. К настоящему времени формулы суммирования Вороного получены для коэффициентов Фурье достаточно широкого класса автоморфных форм. В частности, в нашей работе доказана формула Вороного для значений L-рядов Загье на критической прямой. Данные ряды естественным образом возникают при изучении свойств геодезических на верхней полуплоскости, а также при изучении моментов симметричных квадратичных L-функций. Кроме того, L-ряды Загье связаны с коэффициентами Фурье рядов Эйзенштейна ‒ Маасса полуцелого веса. Принимая во внимание данный факт, мы для начала доказали общий вариант формулы Вороного для форм Маасса полуцелого веса и конгруэнц-подгруппы Гекке уровня 4 и уже из неё в частном случае вывели формулы суммирования для L-рядов Загье. Наше доказательство основано на изучении свойств рядов Дирихле коэффициентов Фурье рядов Эйзенштейна полуцелого веса.

[1] O. Balkanova, D. Frolenkov, “A Voronoi summation formula for non-holomorphic Maass forms of half-integral weight”, Monatshefte für Mathematik, 203 (2024), 733–764

«Характер Черна‒Дольда, тэта-дивизоры и числа Хирцебруха»

Бухштабер Виктор Матвеевич,
доктор физ.-матем. наук, член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник
Веселов Александр Петрович,
доктор физ.-матем. наук, внештатный сотрудник

До сих пор открытой является проблема Милнора, 1958 г.:
Какие числа Черна могут быть у гладких комплексных неприводимых алгебраических многообразий?
Гладкое вещественное многообразие $M^n$ называется $U$-многообразием, если существует вложение $M^n \subset \mathbb{R}^N$ с комплексным нормальным расслоением. Теория комплексных кобордизмов $U^*(\cdot)$, построенная по $U$-многообразиям, является ключевой мультипликативной теорией когомологий в аппарате алгебраической топологии. В результате вычисления кольца скаляров $\Omega_U$ этой теории Дж. Милнором и С.П. Новиковым (1960 г.) проблема Милнора получила формулировку:
Описать $U$-многообразия, у которых числа Черна совпадают с числами Черна гладкого комплексного неприводимого алгебраического многообразия.
Важную роль в теории комплексных кобордизмов играет характер Черна–Дольда – преобразование $ch_U : U^*(X) \to H^*(X;\Omega_U\otimes\mathbb{Q})$. Он используется в формуле Римана–Роха–Хирцебруха, связывающей алгебраическую топологию с алгебраической геометрией. Развитие этой связи обязано формальной группе геометрических кобордизмов, введённой С.П. Новиковым и А.С. Мищенко в 1967 г. Преобразование $ch_U$ определяется рядом $ch_U(c_1(\xi))$, где $c_1(\xi)\in U^2(\mathbb{C}P^{\infty})$ – первый класс Черна универсального одномерного комплексного расслоения. Теория характера Черна–Дольда была развита В.М. Бухштабером в работе 1970 г.; им было показано, что ряд $ch_U(c_1(\xi))$ реализует экспоненту формальной группы геометрических кобордизмов. Это открыло глубокие связи с теорией чисел ввиду результата Д. Квиллена, отождествляющего формальную группу геометрических кобордизмов с универсальной одномерной формальной группой Лазара.
В [1] решена задача, стоявшая более 50 лет в рамках проблемы Милнора: доказано, что коэффициент при $x^{n+1}/(n+1)!$ ряда $ch_U(c_1(\xi))$ реализуется гладким комплексным неприводимым алгебраическим многообразием. А именно, в качестве такого многообразия можно взять тэта-дивизор $\theta^n$ общего абелева многообразия размерности $n+1$.
В [2] получена формула, выражающая класс $\gamma_n[M^{2n}]$ любого $U$-многообразия $M^{2n}$ в виде полинома с целыми коэффициентами от классов кобордизмов $[\theta^k],\, k=1,\ldots,n$; коэффициенты полинома в явном виде выражены через числа Черна многообразия $M^{2n}$. Здесь $\gamma_n$ – знаменатели полиномов Тодда, вычисленные Ф. Хирцебрухом в 1956 г.

[1] V. M. Buchstaber, A. P. Veselov, “Chern–Dold character in complex cobordisms and theta divisors”, Advances in Mathematics, 449 (2024), 109720, 35 pp.
[2] В. М. Бухштабер, А. П. Веселов, “Многочлены Тодда и числа Хирцебруха”, Геометрия, топология, математическая физика, Сборник статей. К 85-летию академика Сергея Петровича Новикова, Труды МИАН, 325, МИАН, М., 2024, 81–92

«Поперечники и жесткость»

Малыхин Юрий Вячеславович,
кандидат физ.-матем. наук, старший научный сотрудник

В работе изучаются поперечники конечных систем функций. Хорошо известно, что ортонормированная система из $N$ функций является “жёсткой” в $L_2$ в том смысле, что элементы этой системы нельзя хорошо приблизить в $L_2$ линейным подпространством размерности существенно меньшей $N$. В пространствах $L_q,\, q<2$, это уже не так. Например, как было ранее установлено автором, система Уолша хорошо приближается пространствами размерности $o(N)$ в $L_q$ при $q<2$. В работе получены достаточные условия жёсткости. А именно, доказано, что системы независимых в теоретико-вероятностном смысле (например, система Радемахера) или безусловных по распределению функций будут жёсткими в $L_1$. При $1<$$q<2$ для жёсткости достаточно обобщённой $q’$-лакунарности, т. е. свойства $S_{q’}$.
Важным понятием, используемым в работе, является усреднённый колмогоровский поперечник (вместо приближения всех точек множества приближаем “в среднем”). Он позволяет связать поперечники конечных систем функций в $L_q$ и поперечники случайных векторов в $\mathbb{R}^N$. Это даёт новые возможности для получения нижних оценок поперечников конечномерных множеств.
Отметим, что понятие функции жёсткости матриц, возникшее в Computer Science, в точности эквивалентно понятию усреднённого поперечника конечного набора векторов в метрике Хэмминга. В работе получены некоторые новые оценки для функции жёсткости специальных матриц.

[1] Ю. В. Малыхин, “Поперечники и жесткость”, Математический сборник, 215:4 (2024), 117–148

«Конструктивное восстановление значений и свойств алгебраической функции по ее ростку»

Комлов Александр Владимирович,
кандидат физ.-матем. наук, старший научный сотрудник

Пусть $f$ — алгебраическая функция степени $m+1$ и $f_\infty$ — ее голоморфный росток в точке $\infty$.
В работе Дж. Наттолла (1984) на физическом уровне строгости, а в 2017 г. в работе Е. М. Чирки, С. П. Суетина, Р. В. Пальвелева и А. В. Комлова в полной строгости, было показано, что корни уравнения $\sum\limits_{j=0}^m Q_{n,j}(z)w^j(z)=0$, где $Q_{n,j}$ — полиномы Эрмита–Паде типа 1 порядка $n$ для набора ростков $[1,f_\infty,\dots,f_\infty^m]$, асимптотически восстанавливают значения $f$ на первых $m$ листах разбиения Наттолла ее римановой поверхности на листы. В частности, отношения $Q_{n,m-1}/Q_{n,m}$ конструктивно восстанавливают сумму значений $f$ на первых $m$ наттолловских листах. В [1] была введена в рассмотрение полиномиальная $m$-система Эрмита–Паде, а в [2] было показано, что в случае алгебраической функции $f$ степени $m+1$ общего положения для любого $k=1,\dots,m$ корни уравнения $\sum\limits_{j=0}^k P^{(k)}_{n,j}(z)w^j(z)=0$, где $P^{(k)}_{n,j}$ — $k$–е полиномы $m$-системы Эрмита–Паде, асимптотически восстанавливают значения $f$ на первых $k$ листах разбиения Наттолла ее римановой поверхности на листы.
В частности, отношения $P^{(k)}_{n,k-1}/P^{(k)}_{n,k}$ конструктивно восстанавливают сумму значений $f$ на первых $k$ наттолловских листах. Таким образом, конструктивно восстанавливаются $m$ значений $(m+1)$-значной функции $f$.
В работе [3] было показано, как с помощью нулей дискриминанта полинома $\sum\limits_{j=0}^m Q_{n,j}(z)w^j(z)$ можно асимптотически восстановить все точки ветвления $f$.

[1] A. V. Komlov, “Polynomial Hermite–Padé $m$-system and reconstruction of the values of algebraic functions”, (Research Perspectives CRM Barcelona, IRP SAFAIS 2019), Trends in Mathematics, 12, 2021 (Extended Abstracts Fall 2019), 113–121
[2] А. В. Комлов, “Полиномиальная $m$-система Эрмита–Паде для мероморфных функций на компактной римановой поверхности”, Математический сборник, 212:12 (2021), 40–76
[3] А. В. Комлов, Р. В. Пальвелев, “Нули дискриминантов, построенных по полиномам Эрмита–Паде алгебраической функции, и их связь с точками ветвления”, Математический сборник, 215:12 (2024) (в печати).

«Седловые связки»

Дуков Андрей Валерьевич,
кандидат матем. наук, научный сотрудник

В работе исследуются седловые связки векторного поля на двумерном ориентированном многообразии, которые могут рождаться при возмущении другого набора седловых связок. Результатом исследования являются следующие теоремы (некоторые дополнительные условия в них опущены): 1) векторные поля с седловыми связками образуют банахово подмногообразие в пространстве векторных полей; 2) любое гладкое семейство, типичное по отношению к набору седловых связок, остаётся типичным и по отношению к связкам, из них родившемся; 3) для любого типичного семейства множество значений параметров, при которых имеется заданный набор связок, является гладким подмногообразием в базе параметров; 4) необходимое и достаточное условие рождения дочерних гиперболических полициклов из другого гиперболического полицикла для векторных полей на сфере. При помощи описанных выше теорем доказано существование гиперболических полициклов из $n$ связок, при возмущении которых в типичном $n$-параметрическом семействе рождаются как минимум $n$ предельных циклов. Последний результат ‒ самый важный. Он влечёт нижнюю оценку на количество предельных циклов, которые могут родиться в типичных $n$-параметрических семействах, т. е. даёт частичный ответ на проблему Гильберта‒Арнольда.

[1] А. В. Дуков, “Седловые связки”, Математический сборник, 215:11 (2024), 92–121

«Расширения пространства непрерывных функций и их применение к исследованию задачи Дирихле»

Гущин Анатолий Константинович,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

Цикл работ посвящен распространению классической и обобщенной постановок задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка на случай граничной функции из $L_p$. Это расширение основывается на специальной шкале пространств, соединяющей пространств непрерывных функций с $L_p$. Функции этих пространств определенны на мерах из специальных классов. Решения задачи Дирихле определяются как функции из промежуточного пространства, аргументами которых являются меры из подмножества мер Карлесона. Для такого расширения доказаны теоремы разрешимости и оценки решения, в том числе максимальной функции и интеграла Лузина. Распространение на эту ситуацию теоремы Карлесона‒Хёрмандера (для аналитических и, соответственно, гармонических функций) показывает невозможность дальнейшего получения новых свойств решений с помощью расширения класса мер.

[1] А. К. Гущин, “О задаче Дирихле”, Теоретическая и математическая физика, 218:1 (2024), 60–79
[2] A. K. Gushchin, “On some properties of elliptic partial differential equation solutions”, International Journal of Modern Physics A, 37:20-21 (2022), 2243002, 9 pp.
[3] А. К. Гущин, “Обобщения пространства непрерывных функций; теоремы вложения”, Математический сборник, 211:11 (2020), 54–71
[4] А. К. Гущин, “$L_p$-оценки решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка”, Теоретическая и математическая физика, 174:2 (2013), 243–255

«Бегущая константа связи в голографической квантовой хромодинамике для легких кварков в сильном магнитном поле»

Арефьева Ирина Ярославна,
доктор физ.-матем. наук, член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник
Николаев Александр Владимирович,
стажер-исследователь
Слепов Павел Сергеевич,
кандидат физ.-матем. наук, научный сотрудник
Хаджилу Али,
PhD, научный сотрудник

Исследование фазовой диаграммы квантовой хромодинамики (КХД) является одной из основных задач в современной фундаментальной физике. В работе [1] методом голографической дуальности, основанном на решении уравнений Эйнштейна, получены существенные результаты о поведении бегущей константы связи КХД. Доказано, что она имеет скачок на линии фазового перехода 1-ого рода из адронной в кваркионную фазу. Установлено её автомодельное поведение в окрестности этого фазового перехода. Поскольку поведением бегущей константы определяется поведение амплитуд рассеяния частиц, эта работа открывает возможность за счет изучения амплитуд рассеяния частиц в веществе при экстремальных условиях и ненулевых магнитных полях локализовать положение фазовых переходов в КХД.

[1] I. Y. Aref'eva, A. Hajilou, A. Nikolaev and P. Slepov, “Holographic QCD Running Coupling for Light Quarks in Strong Magnetic Field”, Physical Review D, 110:8 (2024), 86021, 9 pp.

«Еще одна биллиардная задача»

Болотин Сергей Владимирович,
доктор физ.-матем. наук, член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник
Трещев Дмитрий Валерьевич,
доктор физ.-матем. наук, академик РАН, главный научный сотрудник

Пусть $(M, g)$ – риманово многообразие, $\Omega$ – область на нем с гладкой границей $\Gamma$ и $\phi$ – гладкая функция на $M$, принимающая положительные значения на $\Omega$ и обращающаяся в нуль на $\Gamma$ так, что ее дифференциал $d \phi$ в точках поверхности $\Gamma$ отличен от нуля. Следуя работам С. Доброхотова, В. Назайкинского и др., мы изучаем геодезический поток метрики $G = g/\phi$. Расстояние в метрике $G$ от любой точки области $\Omega$ до $\Gamma$ конечно. Поэтому геодезический поток неполон. В. Назайкинским показано, что геодезический поток в окрестности $\Gamma$ можно регуляризовать. Мы предлагаем другую (более простую) регуляризацию. Благодаря существованию этих регуляризаций возникает естественный закон отражения геодезической от $\Gamma$, что приводит к некоторой (не вполне стандартной) биллиардной задаче в $\Omega$.
Проведено исследование биллиардной динамики в окрестности границы. Получен аналог КАМ-теоремы Лазуткина.
Задача мотивирована коротковолновым приближением в уравнении для поверхностных волн в бассейне с функцией глубины $\phi$.

[1] S. Bolotin, D. Treschev, “Another billiard problem”, Russian Journal of Mathematical Physics, 31:1 (2024), 50–59

«Спонтанно возникающие сигналы с белым шумом»

Яськов Павел Андреевич,
кандидат физ.-матем. наук, старший научный сотрудник

Дано исчерпывающее описание условий, при которых распределение броуновского движения со спонтанно возникающим сносом типа квадратного корня эквивалентно винеровской мере. Данная задача тесно связана с теорией гауссова мультипликативного хаоса (ГМХ). Предложен новый элементарный способ доказательства существования плотности соответствующего распределения, отвечающего одномерному ГМХ в субкритическом режиме.

[1] П. А. Яськов, “О задаче Дэвиса–Монро”, Успехи математических наук, 77:6(468) (2022), 207–208
[2] П. А. Яськов, “Спонтанно возникающие сигналы с белым шумом”, Теория вероятностей и ее применения, 69:4 (2024), 712–728

«Представления подстановок четной степени произведениями инволюций без неподвижных точек»

Малышев Фёдор Михайлович,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

Инволюциями являются неединичные элементы $q$ группы, для которых $q^2=e$ – единица группы. Имеется ряд результатов об оценках минимального числа инволюций, произведением которых можно представить любой элемент группы. Например, Халмош и Какутани (1958) доказали, что унитарное преобразование бесконечномерного комплексного гильбертова пространства может быть представлено произведением 4 инволюций, Густафсон и Халмош (1976) показали, что любая квадратная матрица над полем с определителем ±1 представляется произведением не более 4 инволюций.
В начале 1970-х гг. А. И. Кострикин высказал предположение, что любой элемент простой конечной группы представляется произведением не более 4 ее инволюций. Картер (1970) доказал, что любую подстановку из знакопеременной группы можно представить произведением не более трех инволюций, т. е. подстановок, все циклы которых имеют длину 1 или 2.
В цикле работ Ф. М. Малышева рассматривается вопрос о минимальном числе парноцикловых инволюций (без единичных циклов), произведениями которых можно представить подстановки четной степени. Бреннер (1978) показал, что любая четная подстановка представляется произведением не более 4 парноцикловых инволюций, и привел примеры подстановок, которые нельзя представить произведением трех таких инволюций.
Ф. М. Малышев конструктивно доказал, что почти все четные подстановки представимы произведениями не более трех парноцикловых инволюций, и полностью описал классы сопряженности подстановок четной степени, которые представимы только произведениями четырех парноцикловых подстановок: для подстановок степени 6 имеется один класс, для подстановок степени 16 – пять классов, а для подстановок остальных четных степеней, больших 6 и отличных от 16, – по четыре класса.

[1] Ф. М. Малышев, “Реализация четных подстановок четной степени произведениями трех инволюций без неподвижных точек”, Дискретная математика, 35:2 (2023), с.18–33
[2] Ф. М. Малышев, “Реализация подстановок четной степени произведениями четырех инволюций без неподвижных точек”, Математический сборник, (2024) (в печати)

«Ландшафты оптимизации квантовых вентилей и наблюдаемых»

Печень Александр Николаевич,
доктор физ.-матем. наук, профессор РАН, ведущий научный сотрудник
Петруханов Вадим Никонович,
стажер-исследователь
Моржин Олег Васильевич,
кандидат физ.-матем. наук, старший научный сотрудник
Волков Борис Олегович,
кандидат физ.-матем. наук, старший научный сотрудник

В задачах управления квантовыми системами большой интерес представляет исследование ландшафтов соответствующих целевых функционалов [1]. В работах [2,3] разработаны методы исследования ландшафтов задач генерации двухкубитных квантовых вентилей в открытых квантовых системах с когерентным и некогерентным управлениями. Рассмотрены примеры вентилей C-NOT, SWAP и C-PHASE. Построены три типа целевых функционалов, использующие как полный базис, так и три специальных состояния, проведено исследование и сравнение соответствующих ландшафтов. Для этого применены разработанные методы исследования ландшафтов задач управления в таких системах как на основе алгоритма локального поиска inGRAPE (incoherent GRAPE), предложенного ранее в [4], так и на основе глобального метода стохастической оптимизации в алгоритме двойного отжига. Получены явные выражения для градиентов и гессианов построенных целевых функционалов. В работе [5] исследованы ландшафты задач генерации однокубитных квантовых вентилей H и T ($\pi/8$). Для вентиля Адамара установлено плавное распределение наилучших полученных с помощью inGRAPE значений фиделити с одним пиком, в то время как для вентиля T построенное распределение фиделити имеет два раздельных максимума с соответствующими управлениями, существенно отделенными в пространстве управлений. В отличие от задачи генерации однокубитного вентиля T и аналогично генерации вентиля H, для двухкубитных вентилей C-NOT и C-PHASE получены плавные распределения с одним максимумом, с возможным исключением для вентиля C-PHASE($\pi/2$), указывающие на структуру ландшафта без ловушек [2]. С помощью аналитических и численных методов установлено отсутствие ловушек для генерации однокубитного вентиля типа сдвига фазы в замкнутой квантовой системе на малых временах [6].

[1] B. O. Volkov and A. N. Pechen, “Quantum control landscapes and traps”, Russian Microelectronics, 52, Suppl. 1 (2023), S428–S431
[2] A. N. Pechen, V. N. Petruhanov, O. V. Morzhin, B. O. Volkov, “Control landscapes for high-fidelity generation of C-NOT and C-PHASE gates with coherent and environmental driving”, Eur. Phys. J. Plus, 139 (2024), 411, 21 pp.
[3] O. V. Morzhin, A. N. Pechen, “Generation of C-NOT, SWAP, and C-Z Gates for two qubits using coherent and incoherent controls and stochastic optimization”, Lobachevskii J. Math., 45:2 (2024), 728–740
[4] V. N. Petruhanov, A. N. Pechen, “GRAPE optimization for open quantum systems with time-dependent decoherence rates driven by coherent and incoherent controls”, J. Phys. A, 56:30 (2023), 305303, 26 pp.
[5] V. N. Petruhanov, A. N. Pechen, “Quantum control landscapes for generation of H and T gates in an open qubit with both coherent and environmental drive”, Photonics, 10:11 (2023), 1200, 19 pp.
[6] B. O. Volkov, A. N. Pechen, “On the detailed structure of quantum control landscape for fast single qubit phase-shift gate generation”, Изв. РАН. Сер. матем., 87:5 (2023), 57–70

«Квантизация больших языковых моделей с переопределенным базисом»

Кашин Борис Сергеевич,
доктор физ.-матем. наук, академик РАН, главный научный сотрудник
Оселедец Иван Валерьевич,
доктор физ.-матем. наук, профессор РАН, ведущий научный сотрудник

В работе предложен алгоритм для эффективной квантизации данных, предлагаемый для использования в Больших языковых моделях и других задачах машинного обучения, требующих хранения и использования большого объема информации. Алгоритм основан на использовании так называемого “представления Кашина”. В итоге работы алгоритма многомерный ($N$-мерный) вектор (матрица, тензор) представляется в виде суммы двух векторов, таких, что первый вектор имеет малую равномерную норму, а второй имеет малую равномерную норму относительного другого, (случайного) ортонормированного базиса в $\mathbb{R}^N$. Неожиданным оказался тот факт, что для случайных векторов максимумы норм компонент разложения оказываются сконцентрированными вокруг нескольких пиков. Численные эксперименты показывают преимущество предложенного алгоритма в сравнении с некоторыми другими методами квантизации.

[1] D. Merkulov, D. Cherniuk, A. Rudikov, I. Oseledets, E. Muravleva, A. Mikhalev, B. Kashin, “Quantization of Large Language Models with an Overdetermined Basis”, Proceedings of the 40th Conference on Uncertainty in Artificial Intelligence (UAI 2024), Proceedings of Machine Learning Research, 244 (2024), 2527–2536