На главную страницу
На главную страницу
На главную страницу
English page
English page
МЦМУ МИАН | Минобрнауки | РАН | ОМН РАН | Math-Net.Ru | ММО | Web of Science | Scopus | MathSciNet | zbMATH | Проверка почты | Справка 

   
 Об институте
 Научная деятельность
 Публикации
 Правила оформления научных работ
 Администрация
 Ученый совет
 Диссертационные советы
 Отделы
Сотрудники 
 Аспирантура
 Научно-образовательный центр
 Базовая кафедра в МФТИ
 Совет молодых ученых
 Семинары
 Конференции
 Мероприятия
 Издания МИАН
 In memoriam
 Фотогалерея МИАН
 Музей МИАН
 Реквизиты МИАН
 Устав МИАН
 Библиотека


    Адрес института
Адрес: Россия, 119991, Москва, ул. Губкина, д. 8
Тел.: +7(495) 984 81 41
Факс: +7(495) 984 81 39
Сайт: www.mi-ras.ru
E-mail: steklov@mi-ras.ru

Посмотреть карту
Схема проезда

   

Наиболее важные результаты научных исследований – 2021

2022  |  2021  |  2020  |  2019  |  2018  |  2017  |  2016  |  2015  |  2014  |  2013  |  2012  |  2011  |  2010  |  2009  |  2008  |  2007  |  2006  |  2005  |  2004  |  2003  |  2002  |  2001  |  2000  |  1999  |  1998  |  1997  |  1996

Результат, рекомендованный Ученым советом МИАН (на заседании от  25  ноября 2021 года, протокол № 7) к включению в список важнейших достижений российских ученых в области математики за 2021 год.

Отдел комплексного анализа

«Вещественные алгебраические и вещественные псевдоголоморфные кривые»

Оревков Степан Юрьевич,
кандидат физ.-матем. наук, старший научный сотрудник

В работе решена проблема из области вещественной алгебраической геометрии, стоявшая открытой последние 30 лет.
Знаменитая шестнадцатая проблема Гильберта послужила импульсом для нахождения топологических ограничений на конфигурации овалов на плоскости, необходимых для того, чтобы данную конфигурацию можно было задать одним полиномиальным уравнением с вещественными коэффициентами, т.е. для того, чтобы она была плоской вещественной алгебраической кривой. С.Ю. Оревковым найдено принципиально новое фундаментальное неравенство на инварианты таких конфигураций, задающиеся их вещественной и комплексной ориентациями. Доказано, что неравенство выполняется для всех плоских вещественных алгебраических кривых.
Согласно теории Громова, плоские вещественные алгебраические кривые имеют много общих свойств с так называемыми плоскими вещественными псевдоголоморфными кривыми, относящимися к области исследований симплектической геометрии. Упомянутые выше инварианты корректно определены также и для плоских вещественных псевдоголоморфных кривых, однако для них найденное неравенство может не выполняться. Этот феномен позволил С.Ю. Оревкову решить открытую проблему: построить плоскую вещественную псевдоголоморфную кривую, которую невозможно симплектически продеформировать в плоскую вещественную алгебраическую кривую. Отметим, что аналогичный вопрос для комплексных кривых до сих пор остается открытым.

[1] S. Yu. Orevkov, “Algebraically unrealizable complex orientations of plane real pseudoholomorphic curves”, Geom. Funct. Anal., 31 (2021), 930–947.


Результаты, признанные Ученым советом МИАН (на заседании от 25 ноября 2021 года, протокол № 7) лучшими работами по МИАН в 2021 году.

Отдел алгебры

«Категорные меры для многообразий с действием конечных групп»

Горчинский Сергей Олегович,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

А. Гротендик построил кольцо, порожденное алгебраическими многообразиями с точностью до естественной эквивалентности. Это дает возможность сопоставить каждому многообразию важный инвариант – его класс в этом кольце, названном с тех пор кольцом Гротендика многообразий. Позже М. Капранов заметил, что дзета-функция Вейля многообразий над конечным полем обобщается до мотивной дзета-функции с коэффициентами в кольце Гротендика. Обычная дзета-функция какого-либо многообразия является производящей функцией числа рациональных точек на всех симметрических степенях этого многообразия. В дзета-функции Капранова вместо числа точек берутся сами симметрические степени как элементы кольца Гротендика. Кроме того, в совместной работе с Н. Гантер, Капранов ввел симметрические степени dg-категорий, что приводит к понятию категорной дзета-функции. Возникает естественный вопрос о сравнении мотивной дзета-функции и категорной дзета-функции. Оказывается, что данный вопрос совершенно нетривиален и содержателен. Точная формула для такого сравнения, похожая на эта-функцию Дедекинда, была высказана в качестве гипотезы С. Галкиным и Е. Шиндером.
В работе доказывается данная гипотеза. Более того, для широкого класса многообразия с действием конечных групп доказывается существенно более общая теорема о равенстве категорных мер, соответствующих фактор-стека и расширенного фактора. Найден пример, показывающий, что в общем случае такое равенство не выполняется. Найден пример, связанный с одной гипотезой А. Полищука и М. Ван ден Берга, и показывающий, что в исходной формулировке данной гипотезы было пропущено одно необходимое условие, без которого она не верна.

[1] D. Bergh, S. Gorchinskiy, M. Larsen, V. Lunts, “Categorical measures for finite group actions”, Journal of Algebraic Geometry, 30 (2021), 685–757.


Отдел алгебраической геометрии

«Категорные джойны»

Кузнецов Александр Геннадьевич,
доктор физ.-матем. наук, главный научный сотрудник, член-корреспондент РАН

Производные категории когерентных пучков на проективных алгебраических многообразиях являются важным объектом изучения в алгебраической геометрии, также прядставляя интерес для теории струн. Построение их полуортогональных разложений, "разбивающих" эти категории на более простые части – важная задача. Наиболее эффективное средство для ее решения дает теория гомологической проективной двойственности. Однако, описание гомологической проективной двойственности для интересных классов многообразий само по себе является весьма нетривиальной задачей, поэтому большой интерес представляют операции, позволяющие строить новые примеры гомологической проективной двойственности, исходя из уже существующих. Категорный джойн – первая такая операция.
Категорные джойны имеют множество интересных применений. Одно из них, нелинейная теорема гомологической двойственности, отождествляет нетривиальную компоненту производной категории расслоенного произведения двух многообразий с нетривиальной компонентой производной категории расслоенного произведения их гомологически проективно двойственных многообразий. С помощью этой теоремы, например, удалось построить эквивалентность между производной категорией пересечения грассманиана Gr(2,5) с его общим проективным сдвигом и пересечения проективно двойственных грассманианов, которая дает первый контрпример к бирациональной гипотезе Торелли для многообразий Калаби–Яу. Еще одно применение этой техники доказывает гипотезу двойственности для многообразий Гушеля–Мукаи. Еще один пример использования данной конструкции – описание ортогонала к структурному пучку на поверхности Энриквеса в терминах стека, связанного с пучком кубических кривых на проективной плоскости.

[1] Alexander Kuznetsov, Alexander Perry, “Categorical joins”, J. Am. Math. Soc., 34 (2021), 505–564.


Отдел математической логики

«Об одном фазовом переходе в теории Рамсея»

Разборов Александр Александрович,
доктор физ.-матем. наук, главный научный сотрудник, член-корреспондент РАН

Теория Рамсея – это классический раздел комбинаторики, активно изучающийся как в России, так и за рубежом. Задачи, связанные с её количественными аспектами (т.е. асимптотическим поведением возникающих здесь функций) обычно оказываются очень трудными и далеки от своего окончательного решения. К числу таких задач относится поставленная Эрдёшом и Хайналом в 1972 г. проблема о наличии “фазового перехода” в определённых ситуациях. Проблема Эрдёша–Хайнала зависит от двух параметров $k$ и $s$ и ранее ответ был известен лишь для $k=3$ и лишь для небольшого числа значений $s$.
В совместной работе Д. Мубаи и А. Разборова задача полностью решена для всех $k\geq 4$ и произвольного $s$. Методы доказательства включают как традиционные для экстремальной комбинаторики (в том числе теорию алгебр флагов), так и специально введённые для этой цели. Из числа новых идей стоит отметить рассмотрение комбинаторных объектов с некоторыми свойствами типа универсальности или жёсткости, а также рассмотрение интерпретаций соответствующих теорий в теории гиперграфов.

[1] Dhruv Mubayi, Alexander Razborov, “Polynomial to exponential transition in Ramsey theory”, Proc. London Math. Soc., 122:1 (2021), 69–92.


Отдел теории чисел

«Моменты L-функций и метод Лиувилля–Грина»

Балканова Ольга Германовна,
PhD, научный сотрудник
Фроленков Дмитрий Андреевич,
кандидат физ.-матем. наук, старший научный сотрудник

Различные задачи теории чисел могут быть сформулированы в терминах центральных значений автоморфных L-функций. Так, например, в 2000 году Иванец и Сарнак показали, что для исключения существования нулей Ландау–Зигеля достаточно доказать, что более 50% L-функций модулярных форм отделены от нуля в центральной точке, когда один из параметров (уровень или вес модулярной формы) стремится к бесконечности. В аспекте уровня Иванец и Сарнак получили граничный результат: 50-epsilon %. В аспекте веса задача оказалась гораздо более сложной. Иванец–Луо–Сарнак в 2000 году показали, что не менее 25% центральных L-значений не равны нулю, но лишь в предположении верности обобщенной гипотезы Римана. Первый безусловный результат, полученный Луо в 2015 году, оказался неэффективным и не позволял точно вычислить пропорцию необнуляемости. Основным препятствием на пути доказательства эффективной оценки на пропорцию необнуляемости в аспекте веса является необходимость получения асимптотической формулы для второго момента L-функций модулярных форм. Для этого, в свою очередь, требуется наиболее точно оценить возникающие при изучении второго момента специальные функции. В нашей работе данная задача решена при помощи метода Лиувилля–Грина. В результате, мы доказали, что не менее 20% L-функций модулярных форм не обнуляются в центральной точке, когда вес модулярной формы стремится к бесконечности.

[1] Olga Balkanova, Dmitry Frolenkov, “Moments of $L$-functions and the Liouville–Green method”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 23:4 (2021), 1333–1380.


Отдел геометрии и топологии

I. «Сравнение лежандровых узлов»

Дынников Иван Алексеевич,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

Построен принципиально новый метод сравнения лежандровых узлов на основе комбинаторного формализма для работы с выпуклыми по Жиру поверхностями и доказан технически сложный результат о "независимости" двух "выпуклостей" по отношению к стандартной контактной структуре и ее зеркальному образу. Метод позволил доказать неэквивалентность лежандровых узлов в ряде новых случаев. В случае узлов с тривиальной группой сохраняющих ориентации симметрий построен алгоритм для сравнения лежандровых узлов. Найден пример, в котором два лежандровых узла ограничивают вложенное кольцо и имеют нулевые относительные классические инварианты, но при этом не являются лежандрово эквивалентными. Таких примеров не было известно ранее.

[1] I. Dynnikov, M. Prasolov, “Rectangular diagrams of surfaces: distinguishing Legendrian knots”, J. Topol., 14:3 (2021), 701–860.
[2] I. Dynnikov, V. Shastin. “Distinguishing Legendrian knots with trivial orientation-preserving symmetry group”, Alg. and Geom. Topology, 2021 (to appear).

II. «Инварианты топологической изотопии»

Мелихов Сергей Александрович,
кандидат физ.-матем. наук, старший научный сотрудник

Доказано, что существует 2-компонентное зацепление в 3-мерном пространстве, которое не изотопно (т.е. не гомотопно в классе вложений) никакому гладкому зацеплению. Аналогичный вопрос для 1-компонентных зацеплений, т.е. узлов – известная проблема Ролфсена (1974), которая остаётся открытой.

[1] S. A. Melikhov, “Topological isotopy and Cochran's derived invariants”, Topology, Geometry, and Dynamics: V. A. Rokhlin Memorial, Contemporary Mathematics, 772, eds. A. M. Vershik, V. M. Buchstaber, A. V. Malyutin, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2021, 249–266.


Отдел теории функций

«Аппроксимационные теоремы типа Лузина для соболевских функций на пространствах с гауссовой мерой»

Шапошников Александр Валерьевич,
кандидат физ.-матем. наук, научный сотрудник

В работе получены новые аппроксимационные теоремы типа Лузина для соболевских функций, заданных на бесконечномерном пространстве с гауссовой мерой для которых градиент лежит в пространстве L(log L). Аппроксимационные теоремы типа Лузина – это утверждения о совпадении функции, имеющей только интегральную гладкость на множестве меры, близкой к единице с равномерно гладкой функцией. Первые теоремы такого типа были получены в середине 70-х годов прошлого века сотрудником отдела теории функций К. И. Осколковым.

[1] A. V. Shaposhnikov, "A Note on Lusin-type approximation of Sobolev functions on Gaussian spaces", J. of Functional Analysis, 280:6 (2021).


Отдел дифференциальных уравнений

«Множества достижимости для двухуровневой открытой квантовой системы с когерентным и некогерентным управлениями»

Локуциевский Лев Вячеславович,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник
Печень Александр Николаевич,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

В работе исследуется вопрос управляемости двухуровневой квантовой системой (кубитом) с помощью когерентного и некогерентного управлений. Известно, что такая система (и ее обобщения на n-уровневый случай) аппроксимативно управляемы с некоторой физически малой погрешностью, однако точный размер погрешности был неизвестен. В работе для случая кубита погрешность вычислена точно – она с точностью до коэффициента порядка единицы равна отношению частоты перехода в системе к скорости декогеренции. Помимо этого, в работе методами теории геометрического управления получен следующий неожиданный результат: отказ от использования некогерентного управления не уменьшает множеств достижимости системы. В частности, система кубита управляема с указанной погрешностью при помощи только когерентного управления. Также в работе аналитически описана структура множеств достижимости системы и разработан метод быстрого численного построения оптимального управления для задачи быстродействия.

[1] Lev Lokutsievskiy, Alexander Pechen, “Reachable sets for two-level open quantum systems driven by coherent and incoherent controls”, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 54:39 (2021), 395304, 20 pp.


Отдел математической физики

«Сферически симметричные монополи 'т Хоофта–Полякова»

Катанаев Михаил Орионович,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

В 1974 году Г. 'т Хоофт и А. Поляков независимо доказали, что уравнения движения SU(2)-калибровочной модели с триплетом скалярных полей имеют статические сферически симметричные решения с конечной энергией и магнитным зарядом. Эти решения представляют собой важный пример топологических солитонов и привлекли большое внимание теоретиков. Вскоре было найдено точное аналитическое решение Е. Богомольным, а также М. Прасадом и С. Зоммерфельдом, а затем более простое решение Д. Сиглетоном. Это – все сферически симметричные решения, которые были известны до настоящего времени. Все монополи делятся на классы гомотопически неэквивалентных решений, которые характеризуются индексом отображения (топологическим зарядом) двумерных сфер. Е. Богомольный доказал, что в случае безмассовых скалярных полей в каждом классе решений существуют решения с минимальной энергией, которые удовлетворяют нелинейной системе уравнений в частных производных первого порядка. В своей работе М. Катанаев нашел общее сферически симметричное решение уравнений Богомольного [1]. Оно зависит от двух констант и одной произвольной функции от радиуса. В частных случаях получаются известные решения Богомольного-Прасада-Зоммерфельда и Синглетона. Тем самым найдены все сферически симметричные монополи 'т Хоофта-Полякова с безмассовыми скалярными полями и минимальной энергией.

[1] M. O. Katanaev, “Spherically symmetric 't Hooft–Polyakov monopoles”, Eur. Phys. J. C, 81 (2021), 825, 4 pp.


Отдел теоретической физики

«Иерархии интегрируемых уравнений с отрицательными номерами времен»

Погребков Андрей Константинович,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

В стандартном подходе иерархии Кадомцева–Петвиашвили, Деви–Стюартсона и др. возникают как полубесконечные иерархии интегрируемых уравнений, задаваемых ведущими членами при эволюциях, определенных временами с положительными номерами. Мы вводим новые иерархии со временами, направленными в сторону отрицательных номеров. Введение таких уравнений, равно как и соответствующих иерархий, основано на коммутаторных тождествах. Такой подход позволяет вводить линейные дифференциальные уравнения, допускающие подъем до нелинейных интегрируемых уравнений посредством специальной процедуры одевания. В свою очередь, это дает возможность построения не только нелинейных уравнений, но также и соответствующих лаксовых пар. Лаксов оператор при такой эволюции совпадает с лаксовым оператором “положительной” иерархии. Мы также выводим (1 + 1)-мерные редукции уравнений таких иерархий.

[1] Andrei K. Pogrebkov, “Kadomtsev–Petviashvili Hierarchy: Negative Times”, Mathematics, 9:16 (2021), 1988, 10 pages.
[2] Andrei K. Pogrebkov, “Negative Times of the Davey–Stewartson Integrable Hierarchy”, SIGMA, 17 (2021), 091, 12 pages.


Отдел механики

«О структурах разрывов в решениях гиперболических систем уравнений. Волны в стержнях. Особые разрывы»

Куликовский Андрей Геннадьевич,
доктор физ.-матем. наук, главный научный сотрудник, академик РАН
Чугайнова Анна Павловна,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

Исследуется стационарная структура разрывов в решениях гиперболической системы уравнений достаточно общего вида в предположении, что главным, определяющим механизмом внутри структуры является вязкость. Показано, что некоторые части ударной адиабаты соответствуют эволюционным разрывам, не имеющим структуры. Кроме того, показано, что существуют особые разрывы, на которых должно выполняться дополнительное соотношение, которое находится как условие существования структуры разрыва. Особый разрыв удовлетворяет условиям эволюционности, которые отличаются от известных условий Лакса. Обсуждаются выводы, которые могут представлять интерес также для других систем гиперболических уравнений.

[1] А. Г. Куликовский, А. П. Чугайнова, “Структуры разрывов в решениях уравнений, описывающих продольно-крутильные волны в упругих стержнях”, Доклады РАН. Физ. техн. науки, 497:1 (2021), 49–52.

Более полный текст результата изложен в принятой к печати статье

[2] А. Г. Куликовский, А. П. Чугайнова, “О структурах неклассических разрывов в решениях гиперболических систем уравнений”, УМН, 77:2 (2022).


Отдел теории вероятностей и математической статистики

«Некоммутативные операторные графы в задачах квантовой теории информации»

Амосов Григорий Геннадьевич,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

Построена модель некоммутативного операторного графа, использующая операторно-значные меры, ковариантные относительно унитарного представления группы симметрий. Показано, что квантовый канал, порождающий систему ошибок для такого графа, является комплементарным к измерительному каналу. Для операторных графов указанного вида разработан метод построения квантового кода, исправляющего ошибки [1]. В качестве примеров рассмотрены случаи мер, порождённых унитарным представлением группы Гейзенберга–Вейля, динамикой двухмодового квантового осциллятора и группой операторов смещения, заданной на когерентных состояниях в пространстве Фока [2], а также динамикой взаимодействия двухуровнего атома с полем в модели Джейнса–Каммингса [3].

[1] Г. Г. Амосов, А. С. Мокеев, “О некоммутативных операторных графах, порожденных разложениями единицы”, Математика квантовых технологий, Сборник статей, Труды МИАН, 313, МИАН, М., 2021, 14–22.
[2] G. G. Amosov, A. S. Mokeev, “On non-commutative operator graphs generated by reducible unitary representation of the Heisenberg–Weyl group”, Internat. J. Theoret. Phys., 60 (2021), 457–463.
[3] G. G. Amosov, A. S. Mokeev, A. N. Pechen, “Noncommutative graphs based on finite-infinite system couplings: Quantum error correction for a qubit coupled to a coherent field”, Phys. Rev. A, 103:4 (2021), 042407.


Отдел дискретной математики

«Критический ветвящийся процесс с иммиграцией в случайной среде»

Афанасьев Валерий Иванович,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

Доказана функциональная предельная теорема для ветвящегося процесса с иммиграцией в случайной среде (ВПИСС), сопровождающее случайное блуждание которого является осциллирующим. Распределение предельного процесса описано с помощью строго устойчивого процесса Леви и не зависящей от него последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин.
Ранее докритический и надкритический случаи ВПИСС изучались различными авторами с помощью стандартной техники, основанной на теории мартингалов. Рассмотренный критический случай ВПИСС существенно сложнее и потребовал применения условных предельных теорем для случайных блужданий. Эта теория использовалась при исследовании свойств ветвящихся процессов в случайной среде без иммиграции при условии их невырождения.

[1] V. I. Afanasyev, “A critical branching process with immigration in random environment”, Stoch. Proc. Appl., 139 (2021), 110–138.


Отдел математических методов квантовых технологий

«Квантовый контур в двумерной квантовой теории»

Агеев Дмитрий Сергеевич,
кандидат физ.-матем. наук, научный сотрудник

Энтропия фон Неймана в квантовой теории поля обычно ассоциируется с некоторой областью, что делает ее в значительной степени нелокальной величиной. Недавно было предложено рассматривать более "тонкую" меру квантовой зацепленности – "квантовый контур", который описывает пространственное распределение зацепленности внутри области. В данной работе вычислен контур зацепленности для общих состояний в двумерной квантовой теории, а также показано как квантовый контур может улавливать различные свойства квантовых систем, которые не доступны с помощью исследования энтропии фон Неймана.

[1] D. S. Ageev, “On the entanglement contour of excited states in the holographic CFT”, Eur. Phys. J. Plus, 136, 435 (2021).

На главную страницу

© Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, 2004–2022
Разработка и дизайн: Отдел КС и ИТ