Наиболее важные результаты научных исследований – 2023

2025  |  2024  |  2023  |  2022  |  2021  |  2020  |  2019  |  2018  |  2017  |  2016  |  2015  |  2014  |  2013  |  2012  |  2011  |  2010  |  2009  |  2008  |  2007  |  2006  |  2005  |  2004  |  2003  |  2002  |  2001  |  2000  |  1999  |  1998  |  1997  |  1996

Результат, рекомендованный Ученым советом МИАН (на заседании от 14 декабря 2023 года, протокол № 6) к включению в список важнейших достижений российских ученых в области математики за 2023 год.

«Регулярность субримановых геодезических»

Локуциевский Лев Вячеславович,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

Многие прикладные задачи, такие как задачи кинематического управления, задачи управления квантовыми системами, задачи обработки изображений и другие, естественно формулируются как задачи поиска субримановых геодезических. С самого начала исследования субримановых многообразий был обнаружен новый класс анормальных геодезических, которые не возникают в римановой геометрии. Такие геодезические могут иметь весьма нестандартные свойства. Крайне важным и трудным оказался возникший более 30 лет назад вопрос об их регулярности. Он имеет не только важное теоретическое значение, но и представляет большой практический интерес в связи с многочисленными приложениями субримановой геометрии.
Авторами настоящей работы впервые получен результат о регулярности субримановых геодезических, не использующий никакие априорные предположения. Доказано, что скорость на всякой субримановой геодезической обязана быть Lp-гельдеровой. Отметим, что результаты других авторов в этой области всегда опирались на те или иные весьма ограничительные априорные предположения о структуре субриманова многообразия или о самой геодезической.

[1] Lev Lokutsievskiy, Mikhail Zelikin, “Derivatives of sub-Riemannian geodesics are $L_p$-Hölder continuous”, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 29 (2023), Art. 70

Результаты, признанные Ученым советом МИАН (на заседании от 16 ноября 2023 года, протокол № 5) лучшими работами по МИАН в 2023 году.

«Регуляризации псевдо-автоморфизмов с положительной алгебраической энтропией»

Кузнецова Александра Александровна,
кандидат матем. наук, научный сотрудник

Важный вопрос бирациональной алгебраической геометрии заключается в том, регуляризуем ли на некоторой проективной модели заданный бирациональный автоморфизм алгебраического многообразия. Это тонкое геометрическое свойство бирациональных автоморфизмов, трудное для исследования. Тем не менее, в последнее время появился новый подход к этим вопросам, основанный на использовании динамических степеней бирациональных автоморфизмов. Он был успешно применен для случая поверхностей в ряде работ известных зарубежных математиков Дж. Бланка, С. Канта, Дж. Диллера, Ш. Фавра. В статье А. А. Кузнецовой в терминах динамических степеней предложено достаточное условие для того, чтобы бирациональный автоморфизм трехмерного многообразия был нерегуляризуем, а также не сохранял никакое расслоение на кривые. Это успешно применено для композиции трех бирациональных инволюций, построенных Бланком, и доказано, что она нерегуляризуема.

[1] Alexandra Kuznetsova, “Regularizations of pseudo-automorphisms with positive algebraic entropy”, Journal of Modern Dynamics, 19 (2023), 237–268

«Производные категории изотропных грассманианов»

Фонарёв Антон Вячеславович,
кандидат физ.-матем. наук, научный сотрудник

Давняя гипотеза, восходящая к работам А. Бейлинсона и М. Капранова, гласит, что на любом рациональном однородном многообразии, а точнее, в ограниченной производной категории когерентных пучков на нем, найдется полный исключительный набор из эквивариантных векторных расслоений. Известно, что построить такой набор, т.е. «базис» в производной категории, достаточно для случая обобщенных грассманианов. Несмотря на множество работ в данной области, задача была полностью решена в очень ограниченном числе случаев: для классических грассманианов и квадрик — Капрановым, для изотропных грассманианов плоскостей (ортогональных и симплектических) — А. Кузнецовым и А. Кузнецовым с М. Смирновым, а также для некоторых примеров малой размерности. В работе [2] гипотеза была полностью доказана для лагранжевых грассманианов. В работе [3] был построен двойственный набор, т.е. «двойственный базис», который позволяет делать различные вычисления. Одновременно, в работе [1] были получены первые нетривиальные результаты для случая «нечетных» изотропных грассманианов: построен лефшецев полный исключительный набор на изотропном грассманиане $IGr(3,7)$.

[1] A. Fonarev, “On the bounded derived category of $IGr(3,7)$”, Transformation Groups, 27 (2022), 89–112
[2] Anton Fonarev, “Full Exceptional Collections on Lagrangian Grassmannians”, International Mathematics Research Notices, 2022:2, 2022, 1081–1122
[3] А. В. Фонарёв, “Двойственные исключительные наборы на лагранжевых грассманианах”, Математический сборник, 214:12 (2023) (в печати)

«Соотношения и быстрые алгоритмы для считающих функций на свободных группах и свободных моноидах»

Таламбуца Алексей Леонидович,
кандидат физ.-матем. наук, научный сотрудник

Квазиморфизмом на группе $G$ называется отображение $f$ из $G$ в множество действительных чисел, такое что для всех $x$, $y$ из $G$ значения $|f(xy)-f(x)-f(y)|$ ограничены сверху некоторой константой. Гомоморфизмы и ограниченные функции образуют линейное подпространство в пространстве всех квазиморфизмов, а факторизация по ним изоморфна ядру канонического гомоморфизма из группы ограниченных когомологий $H_b^2 (G,R)$ в группу когомологий $H^2 (G,R)$. Считающие квазиморфизмы на свободной неабелевой группе $F$ возникли в работе Р.~Брукса 1980 года с целью установить, что для неё группа $H_b^2(F,R)$ имеет бесконечную размерность. Позже, с помощью аналогичных конструкций, эта задача была решена для фундаментальных групп двумерных ориентируемых поверхностей и всех гиперболических групп в работах Григорчука и Фудживары–Эпштейна.
Однако вопрос о соотношениях между всеми квазиморфизмами Брукса в факторизованном пространстве $H_b^2 (F,R)$ оставался открытым даже для свободной группы. Были известны бесконечные серии естественных комбинаторных соотношений так называемых левых и правых разложений, но не было известно, покрывают ли они всё множество соотношений. Этот вопрос был положительно решён в работе [1]. С помощью установленных результатов были также найдены достаточно простые базисы для линейного пространства Брукса, порождённого в $H_b^2 (F,R)$ считающими квазиморфизмами.
Считающие квазиморфизмы Брукса представляют интерес также по той причине, что на них можно явным комбинаторным образом определить действие группы автоморфизмов свободной группы $\operatorname{Aut}(F)$. Однако, поскольку между квазиморфизмами Брукса есть соотношения, то многие естественные вопросы о действии $\operatorname{Aut}(F)$ приводят к тому, что требуется эффективно решать проблему равенства в пространстве Брукса. Ранее, для решения этой проблемы был известен только экспоненциальный по сложности алгоритм. Базируясь на комбинаторном описании базовых соотношений из работы [1], в новой работе [2] был предложен новый быстрый алгоритм для решения проблемы равенства в пространстве Брукса. Этот алгоритм имеет линейную сложность для случая целочисленных коэффициентов и сложность $N\log(N)$ для рациональных коэффициентов.

[1] А. Таламбуца и Т. Хартник, “Relations between counting functions on free groups and free monoids”, Groups, Geometry and Dynamics, 12:4 (2018), 1485–1521
[2] А. Таламбуца и Т. Хартник, “Быстрые алгоритмы для считающих функций на свободных группах и свободных моноидах”, Математический сборник, 214:10 (2023), 116–162

«Квадратичные характеры с положительными частичными суммами»

Калмынин Александр Борисович,
кандидат матем. наук, научный сотрудник

Задачи о распределении квадратичных вычетов по простому модулю изучались многими классиками математики, такими как Гаусс и Дирихле. На первый взгляд кажется, что квадратичные вычеты ведут себя случайным образом, то есть что символ Лежандра имеет сходство со случайным блужданием на прямой. Оказывается, однако, что эта эвристика не вполне верна: например, из аналитической формулы для числа классов мнимо-квадратичного поля следует, что среди первой половины остатков по простому модулю квадратичных вычетов всегда не меньше, чем невычетов. Можно задаться вопросом о том, с какой вероятностью выполнена некоторая крайняя форма такого положительного смещения, а именно, какова доля простых чисел, для которых частичные суммы символов Лежандра по начальным отрезкам положительного луча всегда неотрицательны. Данный вопрос связан с отсутствием нетривиальных вещественных нулей многочленов Фекете и, тем самым, с нулями Зигеля L-функций Дирихле. В 1990 году Х. Монтгомери и Р. Вон установили, что пропорция таких простых чисел стремится к нулю, однако их подход не позволяет получить количественную оценку на скорость сходимости. В недавней работе А.Б. Калмынина, опубликованной в этом году в журнале Mathematika, такая количественная оценка была, наконец, получена. Результат Калмынина сводит задачу об оценке числа простых чисел с указанным выше свойством к нахождению вероятности неотрицательности первых нескольких сумм случайной мультипликативной функции, принимающей значения $\pm1$. Изучение таких случайных величин было начато в 1940-х годах А. Винтнером, и затем продолжено многими другими математиками, включая Г. Халаса, Ю.-К. Лау, Ж. Тененбаума и А. Харпера. Случайные мультипликативные функции много использовались в связи с гипотезами о поведении дзета-функции Римана и функции Мёбиуса, поскольку, например, для многих вариантов случайных мультипликативных функций аналог гипотезы Римана выполнен с вероятностью 1. Нахождение вероятности неотрицательности частичных сумм сходно с задачей об оценке вероятности положительности случайного блуждания (последняя связана, например, с числами Каталана). Существенную трудность представляет тот факт, что большинство стандартных методов работы со случайными величинами перестают быть полезными в случае мультипликативных функций, в частности, для них нет аналога центральной предельной теоремы. А.Б. Калмынину удалось обойти эти проблемы при помощи рассмотрения случайной дзета-функции и применения современных результатов А. Харпера о больших значениях таких функций вблизи критической прямой. Данная тематика уже получила некоторое развитие в работах М. Шу и Р. Анджело: они доказали, существенное смещение в сторону положительности для сумм мультипликативных функций с весами.

[1] A. B. Kalmynin, “Quadratic characters with positive partial sums”, Mathematika, 69:1 (2023), 90–99

«О продолжении гомеоморфизмов в нульмерных пространствах»

Щепин Евгений Витальевич,
доктор физ.-матем. наук, главный научный сотрудник, член-корреспондент РАН

В 2023 году Е. В. Щепин получил важные нульмерные аналоги известных результатов бесконечномерной топологии о $Z$-множествах, которые характеризуются тем, что гомеоморфизм двух $Z$-множеств продолжается до гомеоморфизма объемлющих бесконечномерных пространств.
Для канторовского множества понятие $Z$-множества сводится к понятию нигде не плотного множества. Соответствующий результат о продолжении гомеоморфизмов с нигде не плотных множеств, лежащих в нульмерных метрических пространствах, были получены сто лет назад в польской школе математиков (Кнастер, Рыль-Нарджевский).
Результаты Щепина обобщают их результаты на неметризуемый случай, когда в качестве объемлющих пространств выступают несчетные степени двоеточия (канторовский куб) или натурального ряда (бэровский куб). $Z$-множеством в бэровском кубе является любое компактное множество, а $Z$-множество в канторовском кубе $D^\tau$ определяется как множество, не содержащее пересечение открытых множеств в количестве, меньшем, чем $\tau$. Для таких $Z$-множеств доказаны теоремы о продолжении гомеоморфизмов.

[1] E. Shchepin, V. Valov, “Extending homeomorphisms on Cantor cubes”, Topology and its Applications (Published online)
[2] E. Shchepin, V. Valov, “On homogeneity of Cantor cubes”, Canadian Mathematical Bulletin, 66:4 (2023), 1084–1090 (Published online)
[3] A. Karassev, E. Shchepin, V. Valov, “On homogeneity of $\mathbb{N}^\tau$”, Topology and its Applications, 329 (2023), 108380, 6 pp.

«Следы пространств Соболева на нерегулярных подмножествах метрических пространств с мерой»

Тюленев Александр Иванович,
кандидат физ.-матем. наук, старший научный сотрудник

В последние 25 лет чрезвычайно интенсивно развивается теория пространств Соболева $W_p^1(X)$, $p\in[1, \infty)$, на метрических пространствах с мерой $X=(X, d, \mu)$. Несмотря на обширную литературу, посвященную этой тематике, некоторые естественные вопросы остаются открытыми. Среди них особую роль занимает проблема точного внутреннего описания следа пространства $W_p^1(X)$ на различных замкнутых множествах $S\subset X$. Все известные до настоящего времени результаты относились лишь к регулярным по Альфорсу–Давиду множествам $S$.
В работе при $\theta\geqslant 0$ введен новый класс множеств, названных $\theta$-котолстыми. Этот класс включает в себя класс $\theta$-корегулярных по Альфорсу–Давиду множеств, но при этом является существенно более широким. При любых $p\in(1,\infty)$ и $\theta\in[0,p)$ в работе получено точное внутреннее описание следа пространства $W_p^1(X)$ на $\theta$-котолстых замкнутых множествах $S\subset X$.

[1] А. И. Тюленев, “Следы пространств Соболева на нерегулярных подмножествах метрических пространств с мерой”, Математический сборник, 214:9 (2023), 58–143

«Математические задачи в теории твердого тела»

Сергеев Армен Глебович,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник
Тепляков Егор Александрович,
стажер-исследователь

Серия работ, выполненных в последние два года, посвящена интенсивно развивающемуся направлению в физике твердого тела – теории топологических диэлектриков. Эти твердые тела характеризуются наличием энергетической щели, устойчивой относительно малых деформаций, что является мотивацией использования топологических методов для их изучения.
Свойства диэлектрика описываются гамильтонианом с потенциалом, инвариантным относительно решетки $\Lambda$ в $\mathbb{R}^d$, изоморфной $\mathbb{Z}^d$. Решетке $\Lambda$ в двойственном пространстве $(\mathbb{R}^d)'$ отвечает двойственная решетка $\Lambda'$, фундаментальная область которой, совпадающая с тором $\mathbb{T}^d$, называется зоной Бриллюэна. Метод адиабатической деформации позволяет сопоставить каноническим образом исходному гамильтониану непрерывное отображение из зоны Бриллюэна $\mathbb{T}^d$ в грассманиан $Gr_{p,n}$. Зная топологию пространства $[\mathbb{T}^d, Gr_{p,n}]$ гомотопических классов непрерывных отображений $\mathbb{T}^d\to Gr_{p,n}$, удается определить топологические инварианты исходного гамильтониана.
Вторая часть работы посвящена топологическим диэлектрикам, инвариантным относительно обращения времени. В этом случае блоховское расслоение над зоной Бриллюэна является кватернионным векторным расслоением. Исходя из этого, удается определить топологические $\mathbb{Z}_2$-инварианты таких диэлектриков, пользуясь определением $\mathbb{Z}_2$-индекса Атьи–Зингера и характером Черна. Это дает два определения $\mathbb{Z}_2$-индекса, их совпадение можно рассматривать как вариант теоремы Атьи–Зингера об индексе.
Перечисленные результаты излагаются в приводимых ниже статьях, а также в специальном лекционном курсе, который читается А. Г. Сергеевым в осеннем семестре 2023 года Научно-образовательного центра МИАН.

[1] А. Г. Сергеев, Е. А. Тепляков, “Топологические фазы в теории твердого тела”, Известия РАН. Серия математическая, 87:5 (2023), 204–214
[2] Innocenti Maresin, Armen Sergeev, Egor Teplyakov, “On mathematical aspects of the theory of topological insulators”, Acta Mathematica Sinica, English Series, 2023, 1 (Published online)
[3] А. Г. Сергеев, “ВB-оответствие в теории твердого тела”, Труды Московского математического общества, 84:2 (2023) (в печати)

«Принцип максимума Понтрягина для задачи оптимального управления с асимптотическим концевым ограничением»

Асеев Сергей Миронович,
доктор физ.-матем. наук, главный научный сотрудник, член-корреспондент РАН

Задачи оптимального управления с асимптотическими концевыми ограничениями естественно возникают в экономике при исследовании процессов роста. В работе С. М. Асеева получен новый вариант принципа максимума Понтрягина для таких задач, причем без каких-либо априорных предположений об асимптотическом поведении оптимальной траектории. Доказательство основано на сведении исходной задачи на бесконечном интервале времени к семейству стандартных задач на увеличивающихся конечных интервалах и использовании свойств введенной ранее функции условной стоимости.

[1] S. M. Aseev, “The Pontryagin maximum principle for optimal control problem with an asymptotic endpoint constraint under weak regularity assumptions”, Journal of Mathematical Sciences (N.Y.), 270:4 (2023), 531–546
[2] S. M. Aseev, “Necessary conditions for the optimality and sustainability of solutions in infinite-horizon optimal control problems”, Mathematics, 11:18 (2023), 3851, 15 pp.

«Полное разделение переменных в уравнении Гамильтона–Якоби для геодезических»

Катанаев Михаил Орионович,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

Рассматривается (псевдо)риманово многообразие произвольной размерности с метрикой произвольной сигнатуры. В 1891 году Штеккель поставил следующую задачу: описать все метрики, допускающие полное разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби для геодезических. Эта проблема привлекла большое внимание математиков и физиков и стала классической. В 1908-12 годах она была решена для метрик произвольной сигнатуры F. A. Dall’ Acqua и P. Burgatti при условии, что все диагональные компоненты обратной метрики отличны от нуля. В частности, для римановых положительно определенных метрик. Однако вопрос остался открытым для метрик, имеющих нули на диагонали. Это возможно только для индефинитных метрик. Такие метрики важны в моделях гравитации, где метрика имеет лоренцеву сигнатуру и на диагонали возможно появление нулей. В статье [1] предлагается полное решение проблемы Штеккеля, включая метрики, имеющие нули на диагонали. Сепарабельные метрики разделены на классы эквивалентности, где метрики связаны между собой каноническими преобразованиями и невырожденными преобразованиями параметров, входящих в полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби. В каждом классе эквивалентности явно описана каноническая (наиболее простая) метрика, найдены полный интеграл и все законы сохранения для геодезических линий, находящиеся в инволюции. Каждый класс характеризуются количеством векторных полей Киллинга, числом квадратичных по импульсам неразложимым законов сохранения и количеством коизотропных координат. Доказанные теоремы конструктивны. В качестве примеров перечислены все метрики, допускающие полное разделение переменных на многообразиях двух (3 класса), трех (6 классов) [2] и четырех (10 классов) измерений [3].

[1] M. O. Katanaev, “Complete separation of variables in the geodesic Hamilton-Jacobi equation”. arXiv: 2305.02222 [gr-qc] 61 pp. (на рецензии).
[2] М. О. Катанаев, “Разделение переменных в уравнении Гамильтона–Якоби для геодезических в двух и трех измерениях”, Теоретическая и математическая физика, 2024 (в печати)
[3] M. O. Katanaev, “Complete separation of variables in the geodesic Hamilton-Jacobi equation in four dimensions”, Physica Scripta, 98:10 (2023), 104001, 61 pp.

«Лог-канонические координаты для симплектических группоидов и кластерных алгебр»

Чехов Леонид Олегович,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

В работе получены координаты Дарбу для пуассоновых листов старшей размерности для элементов группоида унипотентных верхне-треугольных матриц. Основной элемент конструкции – это специальная планарная сеть, построенная на базе треугольной сети типа Фока–Гончарова, исходно возникающей при описании пространств Тейхмюллера для алгебр $SL_n$.
Задача построения координат Дарбу для пуассоновых листов данного группоида имеет длинную историю. Элементы данной матрицы удовлетворяют уравнению отражения, задаваемому тригонометрической R-матрицей, и могут быть отождествлены в геометрическом подходе с специальным набором геодезических функций на римановой поверхности рода $[n/2]$ с олной или двумя дырками (в зависимости от четности $n$). Эти алгебры известны как алгебры Гаврилика–Климыка–Нельсон–Редже–Угальи–Дубровина–Бондала, и исследование этих алгебр и их представлений представляет существенный интерес с точки зрения квантования маломерных теорий гравитации.
Результаты работы полностью согласуются с ранее полученными пуассоновыми и квантовыми реализациями элементов группоида для $n=3$ и $n=4$ в терминах геодезических функций, полученными с помощью ленточных графов.
Преобразования группы кос (совпадающей в геометрическом случае с модулярной группой, порожденной твистами Дена) реализованы в терминах кластерных преобразований специального колчана. Помимо этого, в работе доказано соотношение группоида путей для нормированных квантовых матриц переноса и, как следствие, построена скобка Голдмана в квазиклассическом пределе. Также в работе доказаны квантовые алгебраические соотношения для элементов матрицы переноса в произвольной (с циклами или без циклов) направленной планарной сети.

[1] Leonid O. Chekhov, Michael Shapiro, “Log-Canonical Coordinates for Symplectic Groupoid and Cluster Algebras”, International Mathematics Research Notices, 2023:11 (2023), 9565–9652

«Предел большого объёма для уравнений дискретной турбулентности»

Дымов Андрей Викторович,
PhD, старший научный сотрудник
Куксин Сергей Борисович,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

Теория волновой турбулентности интенсивно развивается в физических работах с 1960-х, но, несмотря на значительный интерес в сообществе, продвижение в ее математическом обосновании наметилось лишь в последние несколько лет. Мы рассмотрели случайное возмущение слабо нелинейного уравнения Шредингера на торе и его квазирешение, решающее уравнение с малой невязкой. Мы исследовали предел «нелинейность и случайное возмущение к нулю, а затем период тора к бесконечности» квазирешения. Мы доказали, что его основная физическая характеристика, называемая «энергетическим спектром» и заданная $L_2$-нормой по вероятности его коэффициентов Фурье, приближенно удовлетворяет волновому кинетическому уравнению. Это завершает первый шаг в строгом обосновании основной гипотезы теории волновой турбулентности для рассматриваемой модели. Второй шаг состоит в доказательстве близости квазирешения к точному решению.

[1] A. Dymov, S. Kuksin, A. Maiocchi and S. Vlăduţ, “The Large-Period Limit for Equations of Discrete Turbulence”, Annales Henri Poincaré, 24 (2023), 3685–3739

«Достижимость точной нижней грани в определении относительной энтропии сцепленности и ее следствия»

Широков Максим Евгеньевич,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

Относительная энтропия сцепленности определяется как «расстояние» от многочастичного квантового состояния до множества сепарабельных состояний, измеряемое квантовой относительной энтропией. В статье показано, что инфимум в определении этой величины всегда достигается, несмотря на некомпактность множества сепарабельных состояний, т.е. что для любого многочастичного квантового состояния всегда существует «ближайшее» сепарабельное состояние, причем это ближайшее состояние единственно при условии невырожденности (точности) исходного состояния. Этот результат позволяет доказать полунепрерывность снизу относительной энтропии сцепленности на всем пространстве состояний многочастичной квантовой системы и получить для нее дуальное вариационное выражение (в виде супремума некоторого множества), которое дает эффективные оценки снизу для этой важной характеристики.

[1] L. Lami, M. E. Shirokov, “Attainability and Lower Semi-continuity of the Relative Entropy of Entanglement and Variations on the Theme”, Annales Henri Poincaré, 24 (2023), 4069–4137 (Published online)

«Ветвящиеся процессы, развивающиеся в неблагоприятной случайной среде»

Ватутин Владимир Алексеевич,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник
Дьяконова Елена Евгеньевна,
доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник

Модели ветвящихся процессов в случайной среде, предложенные в 1970-е годы, в последние несколько десятков лет стали одной из центральных тем в теории ветвящихся процессов. Среда называется неблагоприятной, если значения случайного блуждания, сопровождающего ветвящийся процесс, оказываются меньше по порядку по сравнению со стандартной нормировкой, обеспечивающей сходимость блуждания к невырожденному предельному распределению, т. е. попадают в область вероятностей больших уклонений.
В этом цикле работ В. А. Ватутина и Е. Е. Дьяконовой получены: а) асимптотики вероятности события $A(n)$, состоящего в том, что в момент $n$ среда является неблагоприятной, но ветвящийся процесс к этому моменту не выродился, б) найдены предельные условные распределения сопровождающего случайного блуждания и числа частиц в ветвящемся процессе при условии события $A(n)$, в) найдены предельные условные распределения значений сопровождающего случайного блуждания и числа частиц в ветвящемся процессе в момент $n-m$ при условии события $A(n)$. Теоремы такого типа ранее не доказывались.

[1] В. А. Ватутин, Е. Е. Дьяконова, “Критические ветвящиеся процессы, эволюционирующие в неблагоприятной случайной среде”, Дискретная математика, 34:3 (2022), 20–33
[2] В. А. Ватутин, Е. Е. Дьяконова, “Размер популяции критического ветвящегося процесса, эволюционирующего в неблагоприятной среде”, Теория вероятностей и ее применения, 68:3 (2023), 509–531
[3] В. А. Ватутин, К. Донг, Е. Е. Дьяконова, “Случайные блуждания, остающиеся неотрицательными, и ветвящиеся процессы в неблагоприятной среде”, Математический сборник, 214:11 (2023), 3–36

«Исследование квантовых явлений, индуцированных постселекцией, с помощью формализма двунаправленных во времени состояний»

Киктенко Евгений Олегович,
кандидат физ.-матем. наук, старший научный сотрудник

Получено обобщение ранее предложенного формализма векторов плотности два-состояний [Aharonov et al. 1964, Silva et al. 2014, Vaidman et al. 2017], предназначенного для описания квантовых экспериментов с постселекцией, на случай постселекции, задаваемой произвольным эффектом положительной операторно-значной меры. Показано, что стандартный формализм, не учитывающий постселекцию, и ранее предложенный двувекторный формализм являются предельными частными случаями нового разработанного формализма. Показано, что возникающее в этом формализме описание состояния квантового объекта, названное двунаправленным во времени состоянием, математически эквивалентно двухчастичной матрице плотности. Доказана возможность "очищения" данных состояний, а также разработаны две практические схемы томографии однокубитных двунаправленных во времени состояний на основе измерений во взаимно несмещенных базисах и симметричных информационно полных измерений. Проведена экспериментальная демонстрация разработанных схем в рамках наблюдения локального распространения квантового состояния в протоколе квантовой телепортации, реализованном на сверхпроводниковом облачном квантовом процессоре.

[1] Evgeniy O. Kiktenko, “Exploring postselection-induced quantum phenomena with time-bidirectional state formalism”, Physical Review A, 107 (2023), 32419