Отдел теории чисел

Отдел теории чисел образован в 1934 году, заведующим отделом с 1934 г. по 1983 г. был И. М. Виноградов, с 1983 г. по 2008 г. — А. А. Карацуба.

В 2010 г. отдел теории чисел был соединен с отделом алгебры. Заведовать объединенным отделом алгебры и теории чисел стал член-корреспондент РАН А. Н. Паршин. 01 апреля 2016 г. отдел теории чисел был воссоздан как отдельное структурное подразделение МИАН. Заведующим отделом стал член-корреспондент РАН С. В. Конягин.

В разные годы в отделе работали: Г. И. Архипов, К. К. Марджанишвили, А. О. Гельфонд, Б. И. Сегал, Л. Г. Шнирельман, Н. М. Коробов, Л. П. Постникова, Н. В. Кузнецов, С. А. Степанов, А. И. Виноградов, А. Г. Постников, К. И. Осколков, С. М. Воронин, А. И. Павлов, И. Ю. Федоров, М. Е. Чанга, В. А. Исковских.

Наиболее яркими открытиями сотрудников отдела являются:

• новый метод оценок сумм Г. Вейля и его приложения в теории чисел;
• асимптотическая формула для количества представлений нечётного числа суммой трёх простых чисел и, как следствие этой формулы, - проблема Гольдбаха;
• теория тригонометрических сумм с простыми числами;
• седьмая проблема Гильберта о трансцендентности логарифмов алгебраических чисел;
• рациональные приближения линейных форм алгебраических чисел и диофантовы уравнения;
• верхняя граница для числа слагаемых в проблеме Гильберта-Камке;
• элементарные методы в аддитивных задачах с простыми числами;
• проблема Варинга и её обобщение на нецелые показатели;
• теоретико-числовые методы в численном анализе;
• большое решето и его применения.

В настоящее время в отделе активно ведутся исследования по следующим направлениям: аддитивная комбинаторика: теория сумм произведений, оценка мощностей множеств без решений линейных уравнений; аналитическая теория чисел: распределение простых чисел, теория дзета-функции Римана и её обобщений, закон Грама, теория характеров Дирихле, неполные суммы Клоостермана, степенные вычеты, различные аддитивные проблемы, теория $L$-рядов автоморфных форм, формулы свертки.

Сотрудниками отдела выполнены исследования по всем основным направлениям аналитической теории чисел, а также по ряду направлений прикладной математики, теории функций и алгебраической геометрии. В частности:

• создан локальный метод в теории тригонометрических сумм, на основе которого построена теория кратных тригонометрических сумм, подобная классической теории Виноградова сумм Г. Вейля;
• решены проблемы о показателе сходимости особых интегралов пробем Терри и её обобщений;
• решена проблема Гильберта-Камке и её обобщения на кратный случай;
• опровергнуты усиленные варианты гипотезы Артина о количестве переменных формы или системы форм, нетривиально представляющих нуль в локальных полях;
• открыт метод оценок коротких сумм характеров с модулем, равным степени фиксированного простого числа;
• разработаны новые элементарные методы в теории распределения простых чисел и теории уравнений в конечных полях;
• получены оценки коротких сумм характеров по сдвинутым простым числам в линейном и нелинейном случаях, превосходящие по своей силе результаты, следующие из расширенной гипотезы Римана;
• доказана универсальность дзета-функции Римана и её обобщений;
• создан новый метод получения явных формул в аддитивных задачах теории чисел;
• доказан усиленный вариант проблемы Гильберта о дифференциальной независимости дзета-функции Римана и её обобщений;
• доказана гипотеза А. Сельберга о нулях дзета-функции Римана на коротких промежутках критической прямой;
• доказана теорема об "исключительности" критической прямой для нулей функции Дэвенпорта-Хейльбронна и дзета-функции Эпштейна;
• на основе метода Виноградова найдены новые свойства решений задачи Коши для уравнений типа Шредингера с периодическими начальными данными и, в частности, обнаружен "квантовый хаос";
• изучены локальные и глобальные свойства сумм тригонометрических рядов с вещественными алгебраическими многочленами в показателе мнимой экспоненты;
• найдены алгоритмы быстрого умножения многозначных чисел и быстрого вычисления элементарных алгебраических функций;
• построены новые квадратурные формулы;
• решена проблема Люрота;
• развита теория рациональных поверхностей над алгебраически незамкнутым полем и описаны определяющие соотношения в группе Кремоны плоскости над незамкнутым полем;
• введено и изучено понятие бирациональной жесткости, ставшее одним из ключевых понятий современной многомерной бирациональной геометрии, доказана бирациональная жёсткость основных классов многомерных многообразий Фано и больших классов расслоений Фано.