Воронин Сергей Михайлович

(1946–1997)

Родился 11 марта 1946 г., Горно-Алтайск.

Умер 18 октября 1997 г., Москва.

Сергей Михайлович Воронин родился 11 марта 1946 г. в городе Горно-Алтайске в семье служащего. Отец Сергея Михайловича, Михаил Федорович Воронин, — инженер-нефтяник, мать, Пелагея Ильинична Воронина (урожденная Маслова), — учитель литературы в школе. С начала 1950-х годов семья Ворониных жила в городе Бугуруслане Оренбургской области. В школе Сергей увлекался химией, математикой, литературой. Занимался музыкой, окончил с отличием музыкальную школу по классу фортепиано.

В 1963 г. после окончания 10-го класса средней школы и успешных выступлений на математических олимпиадах Сергей Воронин был приглашен в летнюю математическую школу МГУ и остался завершать среднее образование в школе-интернате № 18 при МГУ. Это был первый год работы школы-интерната, создателем и руководителем которой стал академик А. Н. Колмогоров.

В 1964 г. С. М. Воронин поступил на механико-математический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Занимаясь теорией чисел, теорией функций, алгеброй, он выбрал узкую специализацию — аналитическую теорию чисел. Уже с первого курса он стал размышлять над самыми разными проблемами теории чисел. Научным руководителем С. М. Воронина в МГУ, а также в аспирантуре МИАН был профессор А. А. Карацуба.

Студенческие работы С. М. Воронина посвящены теории суммирования мультипликативных функций и дзета-функции Римана. В них Сергей Михайлович придумал новый подход к решению задач об асимптотическом поведении сумматорных функций, вариант которого известен в теории чисел как аналитический метод Адамара–Ландау.

В 1969 г. Сергей Михайлович поступил в аспирантуру Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР, а по ее окончании стал научным сотрудником МИАН. В 1972 г. он блестяще защищает кандидатскую диссертацию «Исследование поведения дзета-функции Римана», в которой им решены две крупные проблемы теории дзета-функции Римана: многомерная проблема распределения значений дзета-функции Римана и ее производных в критической полосе и проблема нулей начальных отрезков ряда Дирихле дзета-функции.

Изучением распределения значений дзета-функции впервые начал заниматься Г. Бор в 1914 г. Он доказал, в частности, следующее: если зафиксировать вещественную часть комплексной переменной строго между 0.5 и 1, позволяя при этом мнимой части меняться произвольно, то значения дзета-функции Римана от такой переменной образуют кривую, которая всюду плотна в комплексной плоскости.

В своей диссертации С. М. Воронин получил глубокие многомерные обобщения результата Бора. Их следствием явился, в частности, следующий замечательный факт: не существует «непрерывного динамического» дифференциального уравнения, которому удовлетворяла бы дзета-функция Римана.

Вопрос о дифференциальных свойствах дзета-функции поставил в 1900 г. Д. Гильберт в своем докладе на Математическом конгрессе. Он отметил, что, используя результат Гёльдера об алгебраической дифференциальной независимости гамма-функции и функциональное уравнение Римана для дзета-функции, можно доказать и алгебраическую дифференциальную независимость последней. В том же докладе Гильберт сделал предположение, что полилогарифм — одно из естественных обобщений дзета-функции — не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению с частными производными. Это утверждение было доказано А. Островским в 1921 г. Позднее подобные теоремы были доказаны для L-функций Дирихле, однако в них существенно используется алгебраичность дифференциального уравнения. Именно, используется тот факт, что функциональное равенство нулю суперпозиции рядов Дирихле и многочлена ведет к равенству нулю коэффициентов Дирихле в ряде после формального раскрытия скобок. Поэтому теорема С. М. Воронина дает возможность избегать в некоторых ситуациях использования алгебраичности уравнений и, тем самым, рассматривать более широкие классы уравнений. Такие уравнения и были рассмотрены в кандидатской диссертации С. М. Воронина как для дзета-функции, так и для полилогарифма.

Другой проблемой, которая была решена С. М. Ворониным в кандидатской диссертации, является проблема нулей частичных сумм ряда, определяющего дзета-функцию. В теории чисел известна гипотеза, высказанная П. Тураном в 1948 г., о том, что все такие частичные суммы не обращаются в нуль правее единичной прямой. Из этой гипотезы следует гипотеза Римана о нулях дзета-функции. С. М. Воронин доказывает, в частности, что n-я частичная сумма имеет нули, вещественная часть которых строго больше единицы, для сколь угодно больших n. Также он получает и ряд теорем о нулях частичных сумм, лежащих в критической полосе.

С большой энергией С. М. Воронин стал заниматься поисками подходов к решению двух центральных проблем аналитической теории чисел: гипотезы Римана и бинарной проблемы Гольдбаха. В частности, много усилий он приложил к тому, чтобы доказать, что почти все комплексные нули дзета-функции Римана лежат на критической прямой. Последнее утверждение не доказано до сих пор.

Однако размышления над этим утверждением привели к знаменитой теореме Воронина об универсальности дзета-функции, доказанной им в 1975 г.: если произвольная аналитическая в круге радиуса, меньшего 1/4, не имеет нулей в этом круге, то она с любой наперед заданной точностью может быть приближена на всем круге «вертикальными сдвигами» дзета-функции.

Теорема об универсальности дзета-функции, ее обобщения на L-ряды Дирихле, дзета-функции алгебраических числовых полей, а также теоремы о нулях дзета-функции Эпштейна (дзета-функции квадратичных форм) составили содержание докторской диссертации С. М. Воронина «Аналитические свойства производящих функций Дирихле арифметических объектов», которую он защитил в 1977 г. в Математическом институте им. В. А. Стеклова. Теорема Воронина об универсальности стала широко известной и получила многочисленные обобщения в самых разных направлениях. Особый интерес представляет работа американских математиков К. Битара, Н. Н. Кхури и Х. С. Рена, опубликованная в 1991 г., о вычислении континуальных интегралов квантовой механики на основе теоремы Воронина об универсальности дзета-функции Римана. Одной из теорем докторской диссертации С. М. Воронина, относящейся к нулям дзета-функций, является нижняя оценка для числа нулей дзета-функции квадратичной формы, лежащих вне критической прямой.

В теории дзета-функций известны аналитические функции, которые задаются в правой полуплоскости рядом Дирихле, имеют функциональное уравнение риманова типа и таковы, что для них гипотеза Римана не выполняется, т.е. они имеют комплексные нули, не лежащие на критической прямой. Одной из самых простых таких функций является функция Дэвенпорта–Хейльбронна, найденная ими в 1936 г. В 1980 г. С. М. Воронин доказывает теорему о том, что, тем не менее, критическая прямая является «особым множеством» для нулей функции Дэвенпорта–Хейльбронна, на этой прямой лежит «аномально много» нулей. Несколько позднее подобный результат был доказан им и для некоторых дзетa-функций квадратичных форм. Так родилось новое направление в теории дзета-функций, связанное с определением правильного порядка количества нулей, лежащих на критической прямой, арифметических рядов Дирихле, для которых гипотеза Римана заведомо не выполняется.

С. М. Воронина интересовали самые разные проблемы математики. Принимая активное участие в работе семинара «Аналитическая теория чисел и приложения» в МГУ, он, помимо докладов о своих собственных оригинальных исследованиях, прочитал целый ряд больших обзорных докладов: «10-я проблема Гильберта» (по работам Ю. В. Матиясевича и Ю. Робинсон); «Нули дзета-функции Римана на критической прямой» (по работам А. Сельберга, К. Зигеля и Н. Левинсона); «О приближении безгранично делимыми законами распределений» (по работам А. Н. Колмогорова и Ю. В. Прохорова); «О десятом дискриминанте» (по работе К. Хегнера); «О больших значениях полиномов Дирихле» (по работам Г. Монтгомери и М. Ютилы); «Риманова дзета-функция и его гипотеза» (по работам А. Сельберга). Доклады носили творческий характер.

Много усилий было приложено С. М. Ворониным к решению бинарных аддитивных проблем теории чисел. Здесь одной из его идей была идея разложения характеристической функции интервала по характеристическим функциям арифметических прогрессий. Результаты этого направления исследований опубликованы им в двух больших статьях: «О круговом методе» и «О суммах Клоостермана».

Начиная с 1978 г. С. М. Воронин занимается квадратурными формулами. Сначала он обдумывает преимущества и недостатки уже созданных методов, включая метод Монте-Карло. Затем в серии работ публикует свои собственные результаты, связанные с построением квадратурных и интерполяционных формул с помощью теории дивизоров в полях алгебраических чисел. В одной из последних работ эффективно построены квадратурные формулы на основе теории круговых полей. Эти формулы точны на полиномах Фурье и слабо зависят от размерности полиномов.

Будучи профессором кафедры теории чисел МГПИ им. В. И. Ленина, С. М. Воронин читал оригинальные курсы по теории чисел и истории математики. Особенно интересными были лекции по истории математики, в которых он поражал слушателей своими энциклопедическими знаниями в самых разных областях естественных и гуманитарных наук.

Четыре ученика Сергея Михайловича — Р. T. Турганалиев, К. М. Эминян, С. Л. Захаров и С. Кожегельдинов — защитили кандидатские диссертации, а Н. Темиргалиев, Д. Исмоилов, В. И. Скалыга, научным консультантом которых был С. М. Воронин, защитили докторские диссертации.

Работы С. М. Воронина об универсальности дзета-функции Римана, о нулях арифметических рядов Дирихле, о применении теории дивизоров в квадратурных формулах послужили созданию новых направлений исследований в математике, которые в настоящее время активно развиваются как в нашей стране, так и за рубежом.

Идеи и методы Сергея Михайловича Воронина еще долгие годы будут востребованы учеными, а его имя достойно занимает одно из первых мест в ряду имен выдающихся математиков нашей страны.