Prokhorov Yurii Vasil'evich

(1929–2013)

Родился 15 декабря 1929 г., Москва

Умер 16 июля 2013 г., Москва

Математик, специалист в области теории вероятностей и математической статистики, член-корреспондент АН СССР по Отделению математики с 1966 г., академик АН СССР с 1972 г. (действительный член РАН с 1991 г.) по Отделению математики.

Родился в семье инженера. До Великой Отечественной войны закончил в московской средней школе четыре класса, затем еще четыре класса за два года, проведенные в эвакуации в Чистополе, а еще доучивался год в Москве, закончив среднюю школу в четырнадцать с половиной лет. Под влиянием отца поступил на станко-инструментальный факультет МВТУ им. Баумана, где проявились его особенные способности к математике. По совету А. П. Юшкевича, читавшего курс высшей математики в МВТУ, решил перевестись в Московский университет, и успешно сдав три экзамена, в 15 лет стал студентом механико-математического факультета (1944 г.).

Решающую роль в его судьбе, выборе основной математической специальности и последующей научной карьере сыграло участие в семинаре А. Н. Колмогорова. Став учеником А. Н. Колмогорова, он увлеченно занялся задачами теории вероятностей, и уже на 4-м курсе написал свою первую научную работу, посвященную усиленному закону больших чисел, которая удостоилась высокой похвалы А. Я. Хинчина. После окончания университета в 1949 г. Ю. В. Прохоров был зачислен младшим научным сотрудником в Математический институт им. В. А. Стеклова, и в 1952 г. под руководством А. Н. Колмогорова защитил кандидатскую диссертацию «Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин». С 1949 г. и до конца жизни Ю. В. Прохоров работал в МИАН, с 1961 г. заведующим Отделом теории вероятностей. В 1956 г. защитил докторскую диссертацию «Функциональные методы в предельных теоремах теории вероятностей». В 1958 г. стал профессором кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, с 1970 года до конца своих дней заведовал кафедрой математической статистики на факультете Вычислительной математики и кибернетики, был удостоен звания «Заслуженный профессор МГУ».

Область научных интересов Ю. В. Прохорова — теория вероятностей, теория случайных процессов и математическая статистика. Уже его первая, еще студенческая работа, опубликованная в «Докладах АН», а затем в расширенном варианте в «Известиях АН СССР», содержала существенные за предыдущие 20 лет продвижения в исследовании необходимых и достаточных условий применимости усиленного закона больших чисел, а полученные в ней результаты стали впоследствии классическими в этой области. Именно, в этой работе были даны необходимые и достаточные условия применимости усиленного закона больших чисел к последовательности независимых случайных величин. Это была первая работа цикла, и в последующие годы Ю. В. Прохоров возвращался к этой тематике, находя новые более широкие условия применимости усиленного закона больших чисел. В эти же 50-е годы Ю. В. Прохоров получил важные результаты в классической области локальных предельных теорем теории вероятностей, им найдены новые эффективные необходимые и достаточные условия выполнения локальной предельной теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Из других работ Ю. В. Прохорова в области классических предельных теорем, которые были написаны в те же 50-е годы, следует отметить работу, в которой известное асимптотическое разложение, уточняющее центральную предельную теорему, было обобщено на широкий класс дискретных распределений, и работу, содержащую замечательное исследование асимптотического поведения биномиального распределения.

Самым значительным в научном творчестве Ю. В. Прохорова является цикл его работ по предельным теоремам для случайных процессов. В 1956 г.оду была опубликована знаменитая работа «Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей» (составившая его докторскую диссертацию), которая принесла Ю. В. Прохорову признание мирового математического сообщества. Полученные Ю. В. Прохоровым результаты имеют самое непосредственное отношение к одному из крупнейших достижений в теории вероятностей 20 века — теории функциональных предельных теорем. Самым значительным в работе является создание метода исследования сходимости, в основу которого положен найденный Ю. В. Прохоровым критерий компактности семейства мер на полном сепарабельном метрическом пространстве. Основная теорема Прохорова связывает относительную компактность семейства мер с его плотностью. При доказательстве теоремы была построена метрика, получившая имя метрики Прохорова, сходимость, в которой равносильна слабой сходимости. Значительную часть работы Ю. В. Прохорова составляет детальное рассмотрения найденного критерия для различных функциональных пространств. Слабая сходимость распределений случайных процессов влечет в широких условиях слабую сходимость распределений функционалов от них. Это факт, очень важный в теории случайных процессов, именуется принципом инвариантности, теперь принципом инвариантности Донскера—Прохорова. Результаты, полученные Ю. В. Прохоровым, являются одним из основных средств изучения асимптотических свойств случайных процессов. Теоремы и метрика Прохорова, принцип инвариантности вошли во все фундаментальные учебники по теории вероятностей.

Ю. В. Прохоров в дальнейшем продолжил развивать метод характеристических функционалов. Им был найден критерий относительной компактности семейства распределений на гильбертовом пространстве в терминах характеристических функционалов этих распределений, который был использован как основа гармонического анализа распределений в линейных топологических пространствах. Получена неулучшаемая по порядку оценка скорости сходимости распределений случайных ломаных к винеровскому процессу. Все эти результаты явились мощным стимулом многочисленных дальнейших исследований.

Среди других научных проблем, поставленных Ю. В. Прохоровым и продолженных его учениками и последователями, надо отметить следующие. Принцип инвариантности Прохорова был применен к задачам массового обслуживания при исследовании переходных явлений. При исследовании характеризационных задач математической статистики Ю. В. Прохоров указал для важных в приложениях классов распределений общего типа отвечающие им характеризующие статистики и доказал устойчивость характеризации некоторых характеризующих статистик. Проведенное исследование оценок вариации обобщенных мер, входящих в разложение Эджворта, оказалось особенно важно при применении этого разложения в математической статистике и породило отдельное изучение многочленов от случайных величин с нормальными или гамма распределениями. В последние годы Ю. В. Прохоров совместно с Ф. Гетце и В. В. Ульяновым исследовал поведение характеристических функций многочленов от случайных величин и случайных векторов, применяя весьма тонкие оценки тригонометрических сумм и интегралов, используемых в аналитической теории чисел. Полученные здесь глубокие результаты по оценке характеристических функций многочленов от нормальных и асимптотически нормальных случайных величин значительно улучшают известные ранее оценки. Эти улучшения подобны по форме тем, к которым приводил метод Виноградова для тригонометрических сумм по сравнению с результатами Вейля.

Наряду с чисто теоретическими математическими проблемами Ю. В. Прохорова всегда интересовали практические применения теории вероятностей и математической статистики. Следует отметить его вклад в теорию массового обслуживания и управление случайными процессами, применение последовательного статистического анализа, теории информации и построение вероятностных моделей в области геологических наук, в частности, в геохимии, теоретическое обоснование задач криптографии. Под его непосредственным руководством проходили ежегодные коллоквиумы по прикладной и промышленной математике.

Большое место в жизни Ю. В. Прохорова всегда занимала редакционно- издательская деятельность. С 1966 года до конца жизни он был главным редактором основанного А. Н. Колмогоровым одного из самых известных среди специалистов по теории вероятностей в мировом масштабе журнала «Теория вероятностей и ее применения». Ю. В. Прохоров входил в редколлегии многих престижных журналов в нашей стране и за рубежом. Но особенно увлеченно он участвовал в энциклопедических изданиях, будучи многие десятилетия членом Научно-редакционного совета БСЭ (впоследствии, БРЭ). Он был заместителем главного редактора уникальной пятитомной «Математической энциклопедии», главным редактором энциклопедического словаря «Математика», главным редактором энциклопедического словаря «Вероятность и статистика», заместителем главного редактора энциклопедии «Дискретная математика». Ю. В. Прохоров всячески способствовал изданию выдающихся монографий и учебников по теории вероятностей и математической статистике.

Энергичная научно-организационная деятельность Ю. В. Прохорова была весьма многосторонней. Более пятнадцати лет он был заместителем директора МИАН, заместителем академика-секретаря и членом Бюро Отделения математики АН, на протяжении многих лет возглавлял Комиссию по теории вероятностей и математической статистике при Отделении математики, входил в состав Президиума ВАК. Ю. В. Прохоров был вице-президентом Международного математического союза (ММС), членом Комиссии по Филдсовским премиям ММС, членом Международного статистического института, членом Общества Бернулли. Ю. В. Прохоров за свою долгую жизнь был организатором и возглавлял оргкомитеты многих международных конференций, симпозиумов, коллоквиумов, школ, проходивших за рубежом и внутри страны. Особым достижением Ю. В. Прохорова в этого рода деятельности была организация и проведение в Ташкенте в 1986 г.оду Первого Всемирного конгресса общества Бернулли, собравшего более тысячи участников — специалистов по теории вероятностей и математической статистике со всего света. Ю. В. Прохоров был одним из организаторов и действительным членом Академии криптографии.

Многолетняя педагогическая деятельность Ю. В. Прохорова в стенах Московского университета привлекала к нему способных студентов, которые становились его учениками — аспирантами и ближайшими сотрудниками. Среди подготовленных им 20 кандидатов физико-математических наук более 10 стали докторами наук.

Удостоен Ленинской премии за цикл работ в области предельных теорем теории вероятностей (1970 г., совместно с Ю. В. Линником и Ю. А. Розановым), Ломоносовской премии МГУ за работу об аналитических методах математической теории риска (2005 г., совместно с В. Е. Беннингом и В. Ю. Королевым), награжден двумя орденами Трудового Красного Знамени, орденом Знак Почета и медалями.

Ю. В. Прохоров в течение более 30 лет возглавлял знаменитую, основанную А. Н. Колмогоровым, одну из крупнейших в отечественной математике - вероятностную школу, в последние десятилетия был руководителем научной школы по теории вероятностей и математической статистики в РАН. Ю. В. Прохоров — автор более 120-и научных публикаций, 3-х учебников по теории вероятностей и математической статистике, около 100 статей в энциклопедических изданиях. В их числе:

1. Статьи
   
   
   1. О суммах случайного числа случайных слагаемых, Успехи матем.наук. 1949. 4. Вып. 4. стр. 168–172;
   2. Об усиленном законе больших чисел, ДАН СССР. 1949. LXIX. № 5. стр. 607–610;
   3. Локальные предельные теоремы для сумм независимых слагаемых, Успехи матем. наук. 1952. 7. Вып. 3. стр. 112;
   4. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Teor. Veroyatnost. i Primenen. 1 (1956), no. 2, 177–238;
   5. Some characterization problems in statistics. In: Proceedings of the Fifth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, University of California Press, 1967, 341–349;
   6. Multivariate distributions: Inequalities and limit theorem, In: Theory of Probability. Mathematical Statistics. Theoretical Cybernetics, Itogi Nauki i Tekhniki, 10, 1972, 3–24;
   7. The law of large numbers and the law of the iterated logarithm., Uspekhi Mat. Nauk 38 (1983), no. 4(232), 281–287;
   8. A Stochastic Analogue of the Vinogradov Mean Value Theorem, Preprint 95–090, Preprint reihe SFB 343, Universität Bielefeld, 90 (1995), 20 pp. (with F. Götze and V. V. Ulyanov);
   9. Аналитические методы математической теории риска, основанные на смешанных гауссовских моделях, Вестник Московского университета. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2005. стр. 94–112 (совместно с В. Е. Бенингом и В. Ю. Королевым).


2. Монографии и учебники
   
   
   1. Теория вероятностей, основные понятия, предельные теоремы. случайные процессы. М.: “Наука”, 1967, 495 стр. (совместно с Ю. А. Розановым); Английское издание — New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1969. 401 pp.;
   2. Теория вероятностей, основные понятия, предельные теоремы. случайные процессы. 3-е издание, М.: “Наука”, 1987, 398 стр. (совместно с Ю. А. Розановым);
   3. Лекции по теории вероятностей и математической статистике. 2-е изд., исправл. и доп. В серии: Классический университетский учебник. Москва: Издательство Московского университета, 2011, 252 стр. (совместно с Л. С. Пономаренко);
   4. Курс лекций по теории вероятностей и математической статистике, М.: МЦНМО, 141 стр. (cовместно с А. В. Прохоровым).