Научно-образовательный центр при МИАН

Список спецкурсов на весенний семестр 2005/2006

Гамильтонова механика
Дмитрий Валерьевич Трещев

Одной из наиболее известных попыток придать стандартному университетскому курсу классической механики современную форму является курс В. И. Арнольда, позднее появившийся в виде учебника "Математические методы классической механики". Предлагаемый курс ставит аналогичные задачи с поправками на приоритеты и вкусы автора.

Конспект лекций (PDF файл, 517 Кб)

Программа курса (PDF файл, 59 Кб)

Программа

1. Уравнения Лагранжа. Преобразования Лежандра.
2. Простейшие свойства уравнений Гамильтона: координатная форма, первые интегралы, инвариантная мера.
3. Теорема Пуанкаре о возвращении Теорема Шварцшильда–Литтлвуда.
4. Интегральный инвариант Пуанкаре–Картана.
5. Производящие функции. Канонические замены.
6. Пример: Маятник с быстро колеблющейся точкой подвеса.
7. Понижение порядка по Уиттекеру.
8. Симплектическая структура. Инвариантный вид уравнений Гамильтона.
9. Скобка Пуассона.
10. Теорема Лиувилля.
11. Переменные действие-угол. Пример: задача Кеплера.
12. Динамика в переменных действие-угол. Резонансные и нерезонансные частоты.
13. Классическая схема теории возмущений.
14. Диофантовы частоты. Теорема Колмогорова.
15. Неавтономный и изоэнергетический варианты теоремы Колмогорова.
16. Теория КАМ и проблема устойчивости в гамильтоновой динамике.
17. Антиинтегрируемый предел. Теорема Обри.

Список спецкурсов на весенний семестр 2005/2006