Научно-образовательный центр при МИАН

Список спецкурсов на весенний семестр 2005/2006

Лекции по теории нелинейных интегрируемых уравнений

д.ф.-м.н. Андрей Константинович Погребков

Курс лекций посвящен теории существенно нелинейных интегрируемых уравнений — теории солитонов. Эта теория, являющаяся одним из основных достижений математической физики второй половины XX столетия, нашла применение как в практике ("оптические солитоны"), так и в различных областях теоретической физики (например, в квантовой теории поля и теории струн).

Лекция 1

1. Из истории метода обратной задачи.
2. Вывод уравнения Кортевега–де Фриза.
3. Тест Пенлеве.

Лекция 2

1. Лаксова пара для уравнения Кортевега–де Фриза.
2. Решения Йоста уравнения Штурма–Лиувилля.

Лекция 3

1. Матрица монодромии.
2. Интерпретация в терминах данных рассеяния.
3. Целое решение уравнения Штурма–Лиувилля.
4. Производная решений Йоста по спектральному параметру.

Лекция 4

1. Дискретный спектр оператора Штурма–Лиувилля.
2. Явные формулы для дискретных данных рассеяния в терминах решений Йоста.
3. Дисперсионное соотношение.
4. Связь нулей функции Йоста и собственных значений.

Лекция 5

1. Спектральные данные, восстановление матрицы монодромии по спектральным данным.
2. Обратная задача для уравнения Штурма–Лиувилля.
3. Задача Римана.
4. Уравнения Гельфанда–Левитана–Марченко.
5. Вывод уравнения Штурма–Лиувилля из уравнений обратной задачи.
6. Предел совпадающих собственных значений.
7. Временная эволюция спектральных данных.

Лекция 6

1. Солитонные решения: общая формула.
2. Одно- и двусолитонные решения.
3. Интегралы движения.

Лекция 7

1. Общие замечания о симплектических формах и скобках Пуассона.
2. Вывод скобки Гарднера из формы Захарова–Фаддеева.
3. Вариации данных рассеяния.
4. Рекурсионный оператор.
5. Иерархии интегрируемых уравнений и скобок Пуассона.

Последующие лекции будут посвящены обзору результатов по спектральной задаче Захарова–Шабата и ассоциированным с ней нелинейным уравнениям: нелинейному уравнению Шредингера и уравнению Sine-Гордон.

Список спецкурсов на весенний семестр 2005/2006