Научно-образовательный центр при МИАН

Список спецкурсов на весенний семестр 2005/2006

Расслоения и характеристические классы
Максим Эдуардович Казарян

Записки лекций

Классы Черна, Штиффеля–Уитни, Понтрягина, Эйлера встречаются в различных контекстах в самых разных областях математики – топологии гладких и комплексных многообразий, теории кобордизмов и К-теории, теории групп преобразований, теории представлений, алгебраической геометрии и теории пересечений. Я надеюсь в своем курсе не только дать определения основных характеристических классов, сформулировать их свойства и привести примеры применения, но и научить слушателей обращаться с ними так же легко, как со школьной таблицей умножения, что абсолютно необходимо во многих топологических исследованиях.

Программа

0. Двойственность Пуанкаре, изоморфизм Тома и гомоморфизм Гизина (напоминание тем, относящихся к топологии гладких многообразий).
1. Расслоения со структурной группой, абстрактные и главные G-расслоения. Классифицирующее пространство G-расслоений.
2. Характеристические классы G-расслоений как универсальное правило и как классы когомологий классифицирующего пространства.
3. Грассманиан — классифицирующее пространство векторных расслоений.
4. 14 эквивалентных определений классов Черна. Формула Уитни. Принцип расщепления. К-группа стабильных векторных расслоений.
5. Исчисление Шуберта: формулы Пьери и Джамбели, циклы вырождений.
6. Классы Штиффеля–Уитни и Понтрягина–Эйлера вещественных расслоений.
7. Применение классов Штиффеля–Уитни к топологии многообразий: квадраты Стинрода, формула У, соотношения в вешественных кобордизмах.
8. Числа Черна комплексных многообразий. Теоремы о делимости. Комплексные кобордизмы.
9. Возможно: формальная группа и операции Ландвебера–Новикова в комплексных кобордизмах.

Литература

1. Дж. Милнор, Дж. Сташефф, Характеристические классы, М., Мир, 1979.
2. Д. Б. Фукс, А. Т. Фоменко, Курс гомотопической топологии. М., Наука, 1989.

Список спецкурсов на весенний семестр 2005/2006