Научно-образовательный центр при МИАН

Курс дифференциальной геометрии
к.ф.-м.н. Иван Алексеевич Дынников

1-й семестр. Связность в векторном расслоении
Основное внимание в курсе будет уделено освоению ряда важных понятий, правилам обращения с формулами и их применению в конкретных примерах, разбору которых планируется посвятить значительную часть времени, в то время как строгость логического обоснования будет отодвинута на второй план.

1. Подготовительный материал
   • Группа Ли, матричные группы
   • Левоинвариантные векторные поля
   • Алгебра Ли группы Ли
   • Операторы Ad и ad
   • Инвариантные тензорные поля
   • Дифференциальные формы со значениями в алгебре Ли и операции над ними
2. Векторные расслоения
   • Локально тривиальные расслоения
   • Изоморфизм расслоений, индуцированное расслоение
   • Расслоение со структурной группой
   • Векторные расслоения и операции над ними
   • Главное расслоение, ассоциированное расслоение
3. Связность в векторном расслоении (ковариантное дифференцирование)
   • Эквивалентные определения связности
   • Запись в локальных координатах, калибровочные преобразования
   • Параллельный перенос, голономия
   • Форма кривизны
   • Локально плоские связности
   • Аффинное пространство связностей, вариация связности
   • Характеристические классы
   • Функционал Черна–Саймонса и его экстремали

2-й семестр. Многомерные вариационные задачи
Программа будет объявлена дополнительно.