Научно-образовательный центр при МИАН

Римановы поверхности
член-корр. РАН Евгений Михайлович Чирка

Римановы поверхности продолжают удивлять математический мир все новыми проявлениями и применениями в различных областях математики, механики и теоретической физики. Если вы занимаетесь теорией чисел или теорией групп, алгебраической геометрией или дифференциальной топологией, дифференциальными уравнениями или динамическими системами, симплектической геометрией или комплексным анализом... — то рано или поздно вам понадобятся хотя бы основные понятия и базовые результаты этой прекрасной, многогранной и всегда актуальной теории — теории римановых поверхностей.

Предлагаемый краткий курс представляет собой неформальное введение в предмет, с примерами, задачами и экскурсами в окрестные области геометрии и анализа.

Программа курса:

• Алгебраические кривые в ${\Bbb C}^2$ и ${\Bbb C}{\Bbb P}^2$ — Локальная структура — Разрешение особенностей — Разветвленные накрытия — Формула Римана–Гурвица.
• Дифференцируемые многообразия — Дифференциальные формы и потоки — Когомологии де Рама — Хирургия компактных поверхностей — Циклы и гомологии — Когомологии де Рама для компактных поверхностей с краем.
• Абстрактные римановы поверхности — (Почти) комплексные структуры — Уравнения Бельтрами и квазиконформные отображения — Комплексные структуры на ориентируемой поверхности — Теорема Римана.
• $\bar\partial$-оператор и когомологии Дольбо — $\bar\partial$-проблема на некомпактной римановой поверхности — Теорема Рунге — Проблемы Кузена — Тривиальность голоморфных расслоений.
• $\bar\partial$-проблема на сфере, торах и на компактной римановой поверхности — Голоморфные, мероморфные и гармонические формы — Теорема Римана–Роха — Проблемы Миттаг-Леффлера и Вейерштрасса — Теоремы Абеля и Якоби — Расслоения и классы Черна — Опять алгебраические кривые.
• Фундаментальная группа и универсальные накрытия — Накрывающие преобразования и фуксовы группы — Метрика Пуанкаре — Большая теорема Пикара — Ряды Пуанкаре и $\theta$-функции.