Научно-образовательный центр при МИАН

Аналитическая теория чисел (программа курсов)

к.ф.-м.н. Марис Евгеньевич Чанга

Теоретико-числовые проблемы зачастую формулируются столь просто и ясно, что они понятны практически каждому человеку. Вместе с тем, эти проблемы, как правило, исключительно трудны и для своего решения требуют привлечения сложнейшего математического аппарата. Такое парадоксальное сочетание простоты формулировки и сложности решения на протяжении целых столетий приковывало внимание крупнейших математиков к проблемам теории чисел.

Аналитические методы к теоретико-числовым задачам впервые применил Л. Эйлер. Этот подход оказался исключительно плодотворным и позволил впоследствии решить целый ряд классических проблем теории чисел. Усилиями нескольких поколений математиков первоначально разрозненные идеи и искусственные приёмы были выкристаллизованы в универсальные методы аналитической теории чисел.

В предлагаемых курсах рассматриваются метод комплексного интегрирования и метод тригонометрических сумм, являющиеся основными рабочими инструментами современной аналитической теории чисел. Изучение упомянутых методов ведётся на примере классических теоретико-числовых проблем, таких как асимптотический закон распределения простых чисел, проблема Гаусса о числе целых точек в круге и тернарная проблема Гольдбаха о представимости нечётного числа суммой трёх простых чисел.

 Метод комплексного интегрирования (осень)

• Мультипликативные функции. Производящие ряды Дирихле.
• Сумматорные функции. Формула Перрона.
• Дзета-функция Римана. Функциональное уравнение.
• Нули дзета-функции Римана. Теорема Валле-Пуссена о границе нулей дзета-функции Римана.
• Асимптотический закон распределения простых чисел.
• Проблема делителей Дирихле. Формула Вороного.

 Метод тригонометрических сумм (весна)

• Дробные доли вещественных функций. Критерий Г. Вейля.
• Формула замены тригонометрической суммы более короткой.
• Порядок роста дзета-функции Римана в критической полосе. Оценки тригонометрических сумм методом Г. Вейля.
• Проблема Гаусса о числе целых точек в круге. Оценка тригонометрических сумм методом ван дер Корпута.
• Тернарная проблема Гольдбаха. Круговой метод. Оценка линейных тригонометрических сумм с простыми числами. Теорема Виноградова.