Научно-образовательный центр при МИАН

Список спецкурсов на весенний семестр 2005/2006

Ветвящиеся процессы и случайные блуждания (1 год)

д.ф.-м.н. Валерий Иванович Афанасьев

Программа спецкурса

Изучению случайного блуждания, т.е. последовательности сумм независимых одинаково распределенных случайных величин, уделяется большое внимание в стандартных курсах теории вероятностей (вспомните закон больших чисел, центральную предельную теорему, закон повторного логарифма).

Одним из самых ярких достижений в теории вероятностей в середине прошлого века явилось доказательство так называемых функциональных предельных теорем (Донскер, Прохоров, Скороход, Биллингсли и др.), позволяющих изучать предельные свойства сразу всей траектории случайного блуждания.

В конце 60-х, начале 70-х годов XX века появились первые условные функциональные предельные теоремы (Двасс и Карлин, Лиггетт, Белкин и др.), в которых случайное блуждание рассматривается при различных условиях (например, при условии, что первые n членов случайного блуждания положительны). В качестве предельных процессов здесь фигурируют броуновские экскурсия, извилина и мост. Интересно отметить, что классические предельные теоремы для статистик Колмогорова и Смирнова являются следствием одной из таких условных функциональных предельных теорем.

Оказалось, что именно эти теоремы напрямую связаны с изучением ветвящихся процессов, описывающих эволюцию биологических популяций. В спецкурсе рассматриваются однородные ветвящиеся процессы Гальтона–Ватсона, неоднородные ветвящиеся процессы, ветвящиеся процессы в случайной среде. Следует отметить особую популярность и большое число публикаций, посвященных ветвящимся процессам в случайной среде в настоящее время.

Наряду с указанными процессами в спецкурсе рассматриваются процессы рождения и гибели, случайные блуждания в случайной среде, случайные деревья и леса и устанавливаются разнообразные взаимосвязи между упомянутыми объектами теории вероятностей.